苏科版七升八数学暑假作业+新课程无忧衔接(新课预习)考点13等腰三角形的轴对称性(原卷版+解析)

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一、单选题
1．如图是等腰的顶角的平分线，E点在上，F点在上，且平分，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先证明△AED≌△AFE，利用等式的性质可得EB=CF，再利用全等三角形的性质可得∠EDA=∠FDA，根据等腰三角形三线合一可得∠ADB=∠ADC=90°，根据等角的余角相等可得∠BDE=∠CDF，根据等角的补角相等可得∠BED=∠CFD，条件无法证明∠BDE=∠DAE．
【详解】
解：∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴∠EAD=∠FAD，AB=AC，
∵AD平分∠EDF，
∴∠EDA=∠FDA，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFE（ASA），
∴AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
∴EB=FC，故A正确；
∵AD是等腰△ABC的顶角的平分线，
∴AD⊥CB，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵△AED≌△AFE，
∴∠EDA=∠FDA，
∴∠BDE=∠CDF，故B正确；
∵△AED≌△AFE，
∴∠AED=∠AFD，
∴∠BED=∠CFD，故C正确；
假设∠DAE=∠BDE，则∠DAE+∠EDA=90°，
∴DE⊥AB，
∵条件中没有DE⊥AB，
∴∠DAE=∠BDE错误，故D错误；
故选：D．
【点睛】考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．
2．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
【点睛】考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
3．如图，中，的角平分线相交于点D．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【详解】
解：设∠BAC=x，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-x），
∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=（180°-x），∠DAB=x，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，
∴（180°-x）+x+130°=180°，
∴x=20°．
故选：D．
【点睛】考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（ ）个
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】先分别设∠A=，∠ABE＝∠BCD =，再依次表示出其余各角，利用有两个角相等的三角形是等腰三角形即可判断出图中的等腰三角形的个数．
【详解】
解：如图，令∠A=，∠ABE＝∠BCD =，
∴∠BEC=（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵BE＝BC，
∴∠BCE=，
∴∠DCE=
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∴∠OBC=，
∴∠EOC=，
将以上各角在图中标注，依据等角对等边，由图可知：这四个三角形是等腰三角形，
故选：B．
【点睛】考查了三角形外角的性质和等腰三角形的性质与判定，要求学生理解并掌握相关概念性质，并能用于解决相关问题，此题容易漏解，因此将一些角标注出来可以更清楚的看出哪些三角形是等腰三角形，对学生的审题、分析和读图的能力都有一定的考查．
5．如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【点睛】考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．
6．如图，在中，的平分线相交于点E，边的垂直平分线相交于点D．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可求∠EBC+∠ECB=，由BE，CE分别，可得，可求，可得，由边的垂直平分线相交于点D．可得AD=BD=CD，可得，可求，，可得，可求．
【详解】
解：∵
∴∠EBC+∠ECB=180°-，
∵BE，CE分别，
∴
∴
∵边的垂直平分线相交于点D．
∴AD=BD=CD，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选择：D．
【点睛】考查三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角，掌握三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角是解题关键．
7．如图，在中，平分，平分，经过点且，若，，，则的周长是（ ）
A．15B．16C．17D．24
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE=OE，OF=CF，再进行线段的代换即可求出的周长．
【详解】
解：∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∵平分，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
同理可得：OF=CF，
∴的周长为AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF= AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．
故答案为：A
【点睛】考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，
∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，
∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，
∴△AFE为等腰三角形，
∴结论①正确；
∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，
∴∠AMF=90°，
∴∠DBF=∠DAN，
∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，
∴AD=BD，
∴△DBF≌△DAN，
∴DF= DN，AN=BF，
∴结论②③正确；
∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，
∴△BMA≌△BMN，
∴AM=MN，
∴BE是线段AN的垂直平分线，
∴EA=EN，
∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，
∴AD∥EN，
∵AD⊥BC
∴EN⊥NC，
∴结论④正确；
故选D．
【点睛】考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义
9．如图，等腰直角中，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M为EF的中点且AE=AF可判断②；作FH⊥AB，证△FBD≌△NAD可判断③，证明△EBA≌△EBN（SAS），推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断④．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF=DN，故③正确；
∵∠BAM=∠BNM=67.5°，
∴BA=BN，
∵∠EBA=∠EBN，BE=BE，
∴△EBA≌△EBN（SAS），
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴∠ENC=∠ADC=90°，
∴AD∥EN．故④正确，
综上，正确的结论有：①②③④
故选：D．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
10．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．
【详解】
解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B′H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
【点睛】考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键．
11．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．10或11
【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，a-3=0，b-4=0，
解得a=3，b=4，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3，
∵4+4＞3，
∴能组成三角形，4+4+3=11，
②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长=3+3+4=10，
所以，三角形的周长为11或10．
故选：D．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
12．如图，直线AB，CD交于点O，若AB，CD是等边△MNP的两条对称轴，且点P在直线CD上（不与点O重合），则点M，N中必有一个在（ ）
A．∠AOD的内部B．∠BOD的内部C．∠BOC的内部D．直线AB上
【答案】D
【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，
∵△PMN是等边三角形，等边三角形的对称轴一定经过三角形的顶点，
又∵直线CD，AB是△PMN的对称轴，直线CD经过点P，
∴直线AB一定经过点M或N，
故选：D．
【点睛】考查轴对称，等边三角形的性质等知识
填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值是___．
【答案】或或
【分析】先利用直角三角形的性质可得，再根据点的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得．
【详解】
解：在中，，
，
点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）；点从点运动到点所需时间为（秒），
当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当时，为直角三角形，
①当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，
，
在中，，即，
解得，不符题设，舍去；
（2）如图，当时，为直角三角形，
①当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
综上，的值是或或，
故答案为：或或．
【点睛】考查了含角的直角三角形的性质等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键．
14．如图，在中，与的平分线交与点O，MN过点O，，若，，，则的周长为________．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质和平行线判断出，那么三角形的周长就等于．
【详解】
解：根据题意：在图上标注角如下图：
分别是的角平分线，
，
又，
，
的周长为，
，
又，
，
的周长为：．
故答案是：．
【点睛】考查了等腰三角形的性质
15．如图，AB//CD，∠D＝60°，FB＝FE，则∠E＝_____°．
【答案】30．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠EFA的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角和不相邻内角的关系，可以求得∠E的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠EFA=∠D，
∵∠D=60°，
∴∠EFA=60°，
∵FB=FE，
∴∠E=∠B，
∵∠EFA=∠E+∠B，
∴∠E=30°，
故答案为：30．
【点睛】考查平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和不相邻内角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为_____．
【答案】6
【分析】作PH⊥AC于H，连接PF，根据角平分线的性质求出PH，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FP，根据三角形的外角的性质求出∠PFH，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：作PH⊥AC于H，连接PF，
当PQ⊥AB时，PQ的最小，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC，
∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，
∵GF垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴∠FPA＝∠PAC＝15°，
∴∠PFH＝30°，
∴PF＝2PH＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题为三角形综合题，掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质以及含角的直角三角形的性质是解答本题的关键．
解答题
17．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半即可证明
【详解】
证明：连接，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】考查等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．请你把如图所示的分成两个等腰三角形，并说明分法的合理性．
【答案】见解析
【分析】作，交于，则等腰三角形，再证得，即可判定为等腰三角形．
【详解】
如图，作，交于，
则等腰三角形，，
，
为等腰三角形．
【点睛】考查了等腰三角形的判定及三角形外角的性质，熟练运用等腰三角形的判定是解决问题的关键．
19．如图，已知在四边形中，，连接、．
（1）用基本尺规作图：作的角平分线，交的延长线于点，交于（保留画图的痕迹，不写作法）；
（2）若是的中点，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）7．
【分析】
（1）按作角的平分线步骤作图即可．
（2）由平行线性质和角平分线性质即可证明、，即，即可求出．又由点F为BD中点，即可利用“AAS”证明，即得出．
【详解】
（1）如图即为所作．
（2）∵，CM为的角平分线，
∴，，
∴，
∴．
∵点F为BD中点，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴．
【点睛】考查作图-作角平分线及其性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟知作角平分线的步骤和判定全等三角形的条件是解答本题的关键．
20．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数；
（3）若，判断是否为等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）65°；（3）是，理由见解析
【分析】
（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，DE=EF，由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠B=65°，
∴∠DEF=65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE=EF，
由（2）知，∠DEF=∠B，
∵∠A=∠DEF，
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC的等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．