苏科版七升八数学暑假作业+新课程无忧衔接(新课预习)考点14勾股定理(原卷版+解析)

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一、单选题
1．如图，在四边形中，，点P在四边形的边上．若点P到的距离为1，则点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与1比较得出答案．
【详解】
解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，
∴AE==2＞1，CF=，
∴在AB和AD边上有符合P到BD的距离为1的点4个，
故选：C．
【点睛】考查了等腰直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．
2．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】
如图，过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=2，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案.
【详解】
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=2，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=4，
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=2，
∴，
∴BC=BD+CD=4+2，
故选：A．
【点睛】考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
3．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，
∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．
4．如图，桌面上的长方体长为4，宽为3，高为2，．一只蚂蚁（看作一点）从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出长方形的侧面展开图，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
解：如图1所示，则，
如图2所示，则，
如图3所示，则，
综上：AB的最短距离为．
故选：B．
【点睛】考查的是平面展开－最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
5．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，24，25B．，，C．1.5，2，2.5D．32，42，52
【答案】A
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、72+242=252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；
B、，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意．
故选：A．
【点睛】考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
6．如图，O为数轴的原点，数轴上点A、B表示的数分别是1和2，CA⊥OA于点A，且AC=OA；DB⊥OB于点B，且DB=OA；以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点E；以点O为圆心，OD长为半径画弧，交数轴于点F；则点E和点F表示的数分别是（）
A．1.4，2.2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理及数轴性质解答 ．
【详解】
解：由题意可得：
，
，
∴点E和点F表示的数分别是，
故选B．
【点睛】考查勾股定理及数轴的综合应用
7．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、x、f，根据勾股定理得出正方形之间的关系，再将所有正方形的面积相加即可得出答案．
【详解】
解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、x、f
所有的三角形都是直角三角形
由勾股定理可得，，
S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形C+S正方形D=S正方形F，S正方形E+S正方形F=64
S正方形A+S正方形B+ S正方形C+S正方形D+ S正方形E+S正方形F+82
=2（S正方形E+S正方形F）+64
=264+64
=192（cm2）
所有的正方形的面积和是192cm2
故选D．
【点睛】考查了勾股定理的应用，求得所有正方形的面积是关键，注意不要漏掉．
8．如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程 取是（ ）
A．12cmB．10cm
C．20cmD．无法确定
【答案】B
【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
底面半径为2cm，
，
在中，
，，
．
故答案为：B．
【点睛】考查的是平面展开，最短路径问题，立方体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用的有关知识．解题的关键是综合运用以上知识解决问题．
9．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，己知米，米，，这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮需要（ ）元．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，则∠DBC＝60°，由BC＝15米，即可求出BD＝7.5米，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】
解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，

∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝60°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴∠DCB＝30°，BD＝7.5米，
，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
【点睛】考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
10．如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（ ）m(容器厚度忽略不计)．
A．1.8B．1.5C．1.2D．1.3
【答案】D
【分析】将容器侧面展开，找出A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】
解：如图：
∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝0.5m，BD＝1.2−0.3＋0.3＝1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝=＝1.3（m）．
故选：D．
【点睛】考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
11．如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答．
【详解】
解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
…..
则S7的值为：，
故选：A．
【点睛】考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等．能通过计算找出一般性规律是解题关键．
12．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据七巧板意义，计算出阴影等腰直角三角形的直角边的长即可.
【详解】
如图，根据题意，得
BC=20，CD=BD=10=EM，
∴EG=GM=5，
∴EF=FG=5，
∴，
故选B.
【点睛】考查了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积，熟练掌握七巧板制作规律和制作特点是解题的关键.
填空题
13．把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一直线上．若，则=____．
【答案】
【分析】
作于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF，BF，CF，在中根据勾股定理求出BC，得到AD，在中，根据勾股定理求出DF，即可得CD．
【详解】
过点A作于点F，
在中，，
∴，
∴，，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
14．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则的度数为_______．
【答案】45°
【分析】
如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC-∠DAE=∠ACG，即可得解．
【详解】
解：如图，连接CG、AG，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10，
∴AC2+AG2=CG2，
∴∠CAG=90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG=45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAE=∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°，
故答案为：45°．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．如图，在中，，点为中点．，绕点旋转，，分别与边，交于，两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形．其中正确答案的序号有__________．
【答案】①②③④
【分析】
连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论．
【详解】
解：如图连接，，点为中点，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．①
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．④
，
．②
，
．③
正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为______．
【答案】．
【分析】
连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，设AE＝BE＝x，，则CE=12-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得BE的长．
【详解】
解：连接AE，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，
∵AC＝9，BC＝12，
∴CE＝BC-BE=12﹣x，
∵∠ACE＝90°，
在△ACE中，
由勾股定理AC2+CE2＝AE2，
即92+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BE的长为．
故答案为：．
【点睛】考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
解答题
17．如图，在中，，，为边上一点，且．
（1）的大小＝________；
（2）斜边的长＝________；
（3）斜边上的中线的长＝________；
（4）求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）等边三角形的性质和三角形外角和三角形内角的关系即可求解；
（2），得到是直角三角形，；
（3）由（2）得上的中线的长等于它的半；
（4）过点A作于点，根据勾股定理即可求解．
【详解】
（1）∵，
∴ ；
∵，
∴
（2）∵，
∴是直角三角形
∴
（3）∵直角三角形斜边上的中线的长等于它的一半，
∴斜边 BC 上的中线的长=
（4）解：过点作于点，
，
．
，
．
在中，由（1）得，
，
．
由，
得．
解得．
【点睛】考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
18．在四边形中，，，，，求和．
【答案】
【分析】
延长与，两延长线交于点，由，得到三角形与三角形都为直角三角形，由，得到，在直角三角形中，利用所对的直角边等于斜边的一半，根据的长求出的长，同理在直角三角形中，由的长求出的长，用求出的长，用求出的长即可．
【详解】
解：延长与，两延长线交于点，如图所示，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
则，．
【点睛】考查了勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19．已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】
（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
20．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．
（1）如图1，已知，，，求BD的长；
（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．
【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析
【分析】
（1）利用勾股定理运算即可；
（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．
【详解】
解：（1）∵
∴
∴
∴
（2）∵平分
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
取的中点，连接，如图2所示：
则
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．