苏科版七升八数学暑假作业+新课程无忧衔接(巩固复习)考点06证明(原卷版+解析)

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一、单选题
1．下列命题：①如果一个数的立方根等于这个数的本身，那么这个数一定是0和1；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若，则；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中假命题是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
【答案】D
【分析】由立方根的定义，可判断①，由平行线公理，可判断②；由不等式的基本性质，可判断③，由平行线的性质，可判断④．
【详解】
如果一个数的立方根等于这个数的本身，那么这个数一定是0和±1，故①错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②正确；
若且＞0，则，故③错误；
两条直线被第三条直线所截，两直线平行，同位角相等，故④错误．
故假命题为①③④，
故选D．
【点睛】考查命题的真假，掌握立方根的定义，平行线的性质和公理，不等式的性质，是解题的关键．
2．下列命题：①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=2，PB=3，PC=4，那么点P到直线l的距离是2；④与的两边分别平行，比的3倍少40°，则=125°；是真命题的有（ ）
A．１个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据垂线公理，平行线的性质与判定，角平分线的性质，垂线段的概念，三角形内角和概念逐项分析即可
【详解】
①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线是垂直公理，符合题意
②如图：
分别为的角平分线
，
②是真命题，符合题意
③P到直线l的距离是垂线段的长度，命题中没有说明，故不符合题意；
④∵与的两边分别平行，
∴+=180°或者=∠β，
∵比的3倍少40°，
∴=3-40°，
当+=180°时
3-40°+=180°，
=55°，
当=∠β时
3-40°=，
=20°，
∴= 55°或20°．
④不符合题意；
综上所述①②是真命题，共计2个
故选B
【点睛】考查了垂线公理，平行线的性质与判定，角平分线的性质，垂线段的概念，三角形内角和概念，
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．真命题的逆命题一定是真命题B．假命题的逆命题一定是假命题
C．所有的定理都有逆定理D．所有的命题都有逆命题
【答案】D
【分析】根据互逆命题的定义对A进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对B、C、D进行判断．
【详解】
解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，所以A选项错误；
B、假命题的逆命题不一定是假命题，所以B选项错误．
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、每个命题都有逆命题，所以D选项正确；
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
4．下列命题与它的逆命题均为真命题的是（）
A．内错角相等B．对顶角相等
C．如果ab0，那么a0D．互为相反数的两个数和为0
【答案】D
【分析】首先判断原命题的真假，写出原命题是假命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】
解：A、内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；
C、如果ab=0，那么a=0，是假命题，故本选项不符合题意；
D、互为相反数的两个数和为0，是真命题，
它的逆命题是：和为0的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】C
【分析】过E作EF∥AB CD,由平行线的质可得∠1=∠3,∠2=∠4, ∠3+∠4=∠1+∠2,根据三角形内角和可得: ∠3+∠4=60°,从而可得: ∠1+∠2=60°,由∠1=20°,可得: ∠2=40°.
【详解】
如图,过E作EF∥AB,
则AB∥EF∥CD,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠3+∠4=60°,
∴∠1+∠2=60°,
∵∠1=20°,
∴∠2=40°,
故选C．
【点睛】考查了平行线的性质,解决本题的关键是要正确作出辅助线和熟练掌握平行线的性质.
6．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( )
A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件,那么后面跟的是结论.
【详解】
解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线,
故选D.
【点睛】考查了命题条件的判断,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键.
7．下列四个命题中，属于真命题的是( )
A．互补的两角必有一条公共边B．同旁内角互补
C．同位角不相等，两直线不平行D．一个角的补角大于这个角
【答案】C
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
A、互补的两个角必有一条公共边，是假命题；
B、同旁内角互补，是假命题；
C、同位角不相等，两直线不平行，是真命题；
D、一个角的补角大于这个角，是假命题，例如120度角的补角；
故选C．
【点睛】考查真命题的定义
8．如图，下列说法错误的是( )
若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥cD．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
【答案】C
【详解】
根据平行线的判定进行判断即可．
解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C．
考点：平行线的判定．
9．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．如果三角形三个内角的度数比是，那么这个三角形是直角三角形
B．平行于同一直线的两条直线平行
C．内错角不一定相等
D．若的绝对值等于，则一定是正数
【答案】D
【分析】根据所学知识对命题依次判断真假．
【详解】
解：A、如果三角形三个内角的度数比是，则三个角的度数分别是：，所以这个三角形是直角三角形，为真命题，不符合题意；
B、平行于同一直线的两条直线平行，为真命题，不符合题意；
C、内错角不一定相等，为真命题，不符合题意；
D、若的绝对值等于，当时成立，不是正数，故为假命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】考查命题的判断真假，解题的关键是：结合所学知识对命题依次判断，正确的为真命题，错误的为假命题．
10．下列语句不是命题的是（ ）
A．过直线外一点作直线的垂线 B．三角形的外角大于内角
C．邻补角互补 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【解析】A不是命题；B是命题，为假命题；C是命题，为真命题；D是命题，为真命题.
故选A.
【点睛】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
11．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．实数a、b，若a=b，则|a|=|b|B．直角三角形的两个锐角互余
C．对顶角相等D．若ac2bc2，则ab
【答案】B
【分析】分别写出原命题的逆命题后判断真假即可．
【详解】
A、逆命题为：实数a、b，若|a|=|b|，则a=b，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：两个锐角互余的三角形为直角三角形，正确，是真命题，符合题意；
C、逆命题为：相等的两个角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2，错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理，绝对值，直角三角形两锐角互余，对项角，不等式的性质等，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解题的关键是能正确的写出一个命题的逆命题．还要熟悉课本中的性质定理．
12．下列语句中，是假命题的是（ ）
A．所有的实数都可用数轴上的点表示B．等角的补角相等
C．互补的两个角是邻补角D．垂线段最短
【答案】C
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，正确是真命题，
B、等角的补角相等，正确是真命题，
C、互补的两个角不一定是邻补角，错误是假命题，
D、垂线段最短，正确是真命题，
故选：C．
【点睛】考查命题的真假，涉及到补角和垂线段的知识，难度一般．
二、填空题
13．命题：“如果，那么”的逆命题是_________（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】假命题
【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案．
【详解】
解：命题：“如果a=b，那么a2=b2”的逆命题是如果a2=b2，那么a=b，是假命题；
故答案为：假命题．
【点睛】考查了命题与定理，正确把握逆命题的定义是解题关键．
14．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：____________________
【答案】和为零的两个数是互为相反数．
【分析】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【详解】
逆命题是:和是0的两个数互为相反数；
故答案为和是0的两个数互为相反数．
【点睛】考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
15．我们知道“对于实数m，n，k，若m＝n，n＝k，则m＝k”，即相等关系具有传递性．小捷由此进行联想，提出了下列命题：
①对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c；
②对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③对于角α，β，γ，若α与β互为邻补角，β与γ互为邻补角，则α与γ互为邻补角；
④对于图形M，N，P，若M可以平移到N，N可以平移到P，则M可以平移到P．
其中所有真命题的序号是_____________ ．
【答案】①④
【分析】根据不等式的性质、垂直、互为邻补角及平移的相关性质进行判断即可．
【详解】
解：①对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c，故此命题是真命题；
②对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，此命题是假命题；
③对于角α，β，γ，若α与β互为邻补角，β与γ互为邻补角，则α与γ互为邻补角，此命题是假命题；
④对于图形M，N，P，若M可以平移到N，N可以平移到P，则M可以平移到P，此命题是真命题．
故答案为：①④．
【点睛】考查命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
16．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____．
【答案】丁
【分析】先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可．
【详解】
解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，
④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，
即获得一等奖的团队是：丁；
故答案为：丁．
【点睛】考查了推理与论证，正确进行简单的合情推理是解题关键．
三、解答题
17．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题?
（2）写出一个真命题，并证明．
【答案】（1）3个；（2）见解析
【分析】
（1）直接利用命题的定义进而得出答案；
（2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案．
【详解】
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．
（2）以上3个命题都是真命题．
(i)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴m∥n；
(ii)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠BAC=∠BDC；
(iii)∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴b∥c，
∴∠AFE=∠FED．
【点睛】考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
18．如图，已知、相交于点，给出以下三个判断：①；②；③．请你以其中两个判断作为条件，另外一个判断作为结论，写出所有的命题，指出这些命题是真命题还是假命题．
【答案】见解析
【分析】三个判断任意两个为条件，另一个为结论可写三个命题，然后根据平行线的判定与性质即可判断这些命题的真假．
【详解】
解：（1）若AB∥DE，BC∥EF，则∠B＝∠E，此命题为真命题；
（2）若AB∥DE，∠B＝∠E，则BC∥EF，此命题为真命题；
（3）若∠B＝∠E，BC∥EF，则AB∥DE，此命题真命题；
第一个命题证明如下：
∵AB∥DE，∴∠B＝∠DOC．
∵BC∥EF，∴∠DOC＝∠E．
∴∠B＝∠E．
第二个命题证明如下：
∵AB∥DE，∴∠B＝∠DOC．
∵∠B＝∠E，∴∠DOC＝∠E．
∴BC∥EF．
第三个命题证明如下：
∵BC∥EF，∴∠DOC＝∠E．
∵∠B＝∠E，∴∠DOC＝∠B．
∴AB∥DE．
【点睛】考查真假命题和平行线的判定与性质
19．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】
（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
【详解】
解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点睛】考查命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
20．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．
【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】
（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
【详解】
（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】考查命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．