苏科版七升八数学暑假作业+新课程无忧衔接(巩固复习)考点04二元一次方程组(原卷版+解析)

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一、单选题
1．在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过小明由于粗心把系数抄错了，得到，通过小亮把常数抄错了，得到，便可将原方程组复原，再求解即可．
【详解】
对于方程组，
小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是
∴
解得
小亮把常数抄错了，得到的解是
∴
解得
∴原方程组为，解得
故答案选：C．
【点睛】考查二元一次方程组错解复原问题．通过错解复原原方程组是本题的关键．
2．二元一次方程3x+2y＝13正整数解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【答案】B
【分析】要求二元一次方程3x+2y＝13的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数即可．
【详解】
解：由已知，得y＝．
要使x，y都是正整数，必须满足13﹣3x是2的倍数且13﹣3x是正数．
根据以上两个条件可知，合适的x值只能是x＝1，3，
相应的y＝5，2．
所以有2组，分别为，．
故选：B．
【点睛】考查了二元一次方程组的解，准确分析计算是解题的关键．
3．已知关于x，y的方程组，其中﹣2≤a≤0．下列结论：①当a＝0时，x，y的值互为相反数；②是方程组的解；③当a＝﹣1时，方程组的解也是方程2x﹣y＝1﹣a的解；其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】把a＝0代入方程组，可求得方程组的解，把代入方程组，可得a＝1，可判断②；把a＝﹣1代入方程可求得a的值为2，可判断③；可得出答案．
【详解】
解：①当a＝0时，原方程组为，解得，
②把代入方程组得到a＝1，不符合题意．
③当a＝﹣1时，原方程组为，解得，
当时，代入方程组可求得a＝﹣1，
把与a＝﹣1代入方程2x﹣y＝1﹣a得，方程的左右两边成立，
综上可知正确的为①③．
故选：B．
【点睛】考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
4．已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
【分析】根据题意及表格中的数据列出关系式，计算即可求出p的值．
【详解】
解：根据题意得：，
整理②得：③
将①代入③，得：
故选：C．
【点睛】考查了代入法解二元一次方程组
5．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种B．14种C．15种D．16种
【答案】B
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，据题意列三元一次方程，找出这三元一次方程的正整数解的个数就是购买方案的种类数．
【详解】
解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得，
得，
由于x、y、z只取正整数，所以需使被2整除且为正数，且，
当，，，8种，
当，，，6种，
∴的正整数解有14组．，
所以购买方案共有14种．
故选：B．
【点睛】考查三元一次方程的应用，会求解三元一次方程的正整数解是关键．
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，通过计算，鸡和兔的数量分别为（ ）
A．23和12B．12和23C．24和12D．12和24
【答案】A
【分析】设鸡有x只、兔有y只，由等量关系：鸡兔35只，共有足94足，列方程组，解之即可．
【详解】
解：设鸡有x只、兔有y只，
故居题意得：，
解得：，
答鸡和兔的数量分别为23和12．
故选择：A．
【点睛】考查列方程组解应用题，掌握列方程组解应用题的方法，抓住等量关系：鸡兔35只，共有足94足列方程组是解题关键．
7．由方程组可得x与y的关系式是（ ）
A．x－2y＝5B．x－y＝6
C．x－2y＝－5D．x－2y＝9
【答案】D
【分析】方程组消元m即可得到结果.
【详解】
，②代入①得：x－2(y＋1)＝7，整理得：x－2y＝9，所以D选项正确.
【点睛】考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：带入消元法与加减消元法.
8．小亮用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮两种水果各买了多少千克？设小亮买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设小亮买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．
【详解】
设小亮买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
由题意得：．
故选：A．
【点睛】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
9．满足方程组的，的值的和等于，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，由加减消元法把①②，得③；然后由与的和等于，得到④，再根据③④，得，最后把代入④得，因此可解得．
故选：C.
10．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
A．38B．40C．42D．45
【答案】A
【分析】分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
【详解】
解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用
11．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③当时，a＝18；④不存在一个实数a使得x=y．
A．①②④B．②③④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】
①把代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
③根据题中等式得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
④假如，得到无解，本选项正确．
【详解】
解：①把代入方程组得：，
解得：，本选项错误；
②由与互为相反数，得到，即，
代入方程组得：，
解得：，本选项正确；
③方程组解得：，
，
，
，解得：，本选项正确；
④若，则有，可得，矛盾，故不存在一个实数使得，本选项正确．
综上所述：正确的选项有②③④．
故选：．
【点睛】考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组解法，注意方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，有根必代是解题关键．
12．解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是( )
A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2
B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②
C．加减法消去z，将①＋②与③＋②
D．代入法消去x，y，z中的任何一个
【答案】C
【分析】根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题.
【详解】
解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数,
∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋②
故选C.
【点睛】考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键.
二、填空题
13．五月正是吃枇杷、菠萝、荔枝的季节，重庆某水果店五月第一周从果园进购了一批枇杷、菠萝和荔枝，其中枇杷的重量占购进三种水果总量的，枇杷的进价为4元/千克，菠萝的售价为9元/千克，荔枝的进价为8元/千克．水果店对枇杷提价100%进行销售，菠萝的利润率为80%，荔枝的售价为15元/千克，第一周三种水果售罄后总利润率为87.5%．第二周水果店进购相同数量的枇杷、菠萝和荔枝，枇杷的成本增加了25%，枇杷的售价变为9元/千克，菠萝的进价和售价均保持不变，荔枝的进价不变，荔枝的利润率变为了75%，同时由于水果店储存不当，第二次购进的荔枝中有的部分出现了损耗（损耗水果不能销售），则第二周三种水果售罄时总利润率为___．
【答案】68.2%
【分析】
设购进了枇杷、菠萝和荔枝的重量分别为x，y，z千克，分别得到两周三种水果的进价，售价和利润，根据第一周的情况列出x，y，z的方程组，得到，，再代入第二周的总利润率中进行计算．
【详解】
解：设购进了枇杷、菠萝和荔枝的重量分别为x，y，z千克，
第一周：
枇杷的进价为：4元/千克，售价为：4×（1+100%）=8元/千克，利润为：4元/千克，
菠萝的进价为：9÷（1+80%）=5元/千克，售价为：9元/千克，利润为：4元/千克，
荔枝的进价为：8元/千克，售价为：15元/千克，利润为：7元/千克，
∵枇杷的重量占购进三种水果总量的，
∴，
∴，
∵第一周三种水果售罄后总利润率为87.5%，
∴，
∴，，
∴，，
第二周：
枇杷的进价为：4×（1+25%）=5元/千克，售价为：9元/千克，利润为：4元/千克，
菠萝的进价为：5元/千克，售价为：9元/千克，利润为：4元/千克，
荔枝的进价为：8元/千克，售价为：14元/千克，利润为：6元/千克，
又由于第二次购进的荔枝中有的部分出现了损耗，
∴第二周的总利润率为≈0.682，即68.2%，
故答案为：68.2%．
【点睛】考查了三元一次方程组的实际应用，题中条件较多，解题时一定要理清条件，根据所设未知数列出关系式，并代入计算．
14．若方程组的解是则方程组的解为________
【答案】
【解析】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为： .
15．小雅和小智约好周末一起登缙云山，两人同时从山脚出发，沿同一路线上山．小雅以每分钟45米的速度匀速上山，途中不休息；小智以每分钟120米的速度骑自行车匀速上山，每骑车5分钟休息1分钟．10分钟后小智自行车出现故障，立即以每分钟50米的速度推着自行车到山脚出发点维修．15分钟后小智修好了自行车，立即以出发时的速度骑车追赶小雅，仍然骑车5分钟休息1分钟，最后小雅还是比小智早到山顶45秒，则山脚到山顶的距离为___________米．
【答案】3373.2
【分析】
先求出小智修好车之前用的时间，再设小智再次登顶用了t分，则可列出小雅走的距离．设t中有m个5分钟，除t中的6m分钟外还余x分钟（）．则可知小智再次登顶有m个休息，又可知，即可求出小智登顶的距离．最后利用小雅和小智登顶的距离相同，可列出关于m和x的二元一次方程．利用m为整数，即可求解．即可得出答案．
【详解】
小智前10分钟走了米，
下山修车用了分钟，
设小智再次登顶用了t分，t不一定是6的倍数．
则小雅走了米，即米．
设t中有m个5分钟，除t中的6m分钟外还余x分钟（），则小智再次登顶有m个休息．
∴．
∵小智登顶的距离为，
∴，即，
整理得：．
∵m为整数，，
∴，
则山脚到山顶的距离为米．
故答案为：3733.2．
【点睛】考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键．
16．已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是__________．
【答案】1346
【分析】先化简绝对值，再根据方程取非负整数解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵a，b，c为3个自然数，
要想取最大值，a应该取最小值0，
代入得，，
当b=1时，c最大，最大值为673，
，
故答案为：1346．
【点睛】考查绝对值化简和不定方程求非负整数解，解题关键是根据题意化简绝对值并确定a、b、c的最值．
三、解答题
17．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y＝，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y＝12的正整数解为．问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y＝6的一组正整数解．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【答案】（1）；（2）B；（3）有三种购买方案，方案1：购买笔记本11本，钢笔3支；方案2：购买笔记本6本，钢笔6支；方案3：购买笔记本1本，钢笔9支
【分析】
（1）由3x﹣y＝6可得出x＝2，结合x，y均为正整数可得出y为3的整数倍，再代入y＝3求出x值即可；
（2）由为自然数可得出（x﹣3）可以为1，2，3，4，6，12，解之可得出x的值，进而即可得出结论；
（3）设购买m本笔记本，n支钢笔，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】
解：（1）∵3x﹣y＝6，
∴x＝2．
∵x，y均为正整数，
∴y为3的整数倍，
∴当y＝3时，x＝3，
∴方程3x﹣y＝6的一组正整数解为．
（2）∵为自然数，
∴（x﹣3）可以为1，2，3，4，6，12，
∴x可以为4，5，6，7，9，15，
故选：B．
（3）设购买m本笔记本，n支钢笔，
依题意得：3m+5n＝48，
∴m＝16n．
∵m，n均为正整数，
∴n为3的整数倍，
∴当n＝3时，m＝11；
当n＝6时，m＝6；
当n＝9时，m＝1．
∴有三种购买方案，
方案1：购买笔记本11本，钢笔3支；
方案2：购买笔记本6本，钢笔6支；
方案3：购买笔记本1本，钢笔9支．
【点睛】考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．如图，已知，，线段上从左到右依次有两点，（不与，重合）．
（I）求证：：
（2）比较，，的大小，并说明理出；
（3）若，平分，且，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）＞＞，理由见解析（3）56°．
【分析】
（1）根据平行线的性质与判定即可证明；
（2）根据三角形的外角定理即可判断求解；
（3）设，∠EBF=y，根据题意找到数量关系得到方程组，求出x，y即可求解．
【详解】
（1）∵
∴
∵
∴
∴
（2）＞＞，理由如下：
∵是△BEF的一个外角
∴=
∴＞
∵是△BDF的一个外角
∴=
∴＞
∴＞＞
（3）设，∠EBF=y，
∵
∴
∵
∴
∵平分
∴∠EBA=∠EBF=y
∴=4x+y
∵
∴
∴
∵
∴4x+y=①
∵
∴
即2y+x=②
联立①②解得
∴=14°+42°=56°．
【点睛】考查平行线的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟知平行线的判定与性质、三角形的外角定理及解二元一次方程组的方法．
19．某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？
【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）40名
【分析】
（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，
依题意，得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，
依题意，得：4×30+2m＝200，
解得：m＝40．
答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．
【点睛】考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题
20．甲、乙两人共同解方程组．解题时由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，
试计算：（1）a 与b的值；
（2）a2019+(b)2020的值．
【答案】（1），；（2）0
【分析】
（1）将代入方程②，求出b的值；将代入方程①，求出a的值；
（2）将所求的a、b的值代入计算即可．
【详解】
（1）根据题意，将代入②，得：，即；
将代入①得：得：，即；
（2）a2019+(b)2020
=(-1)2019+（×10）2020
．
【点睛】考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．也考查了代数式求值．
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