苏科版七升八数学暑假作业+新课程无忧衔接(巩固复习)考点03整式乘法与因式分解(原卷版+解析)

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一、单选题
1．如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把单项式的积转化为单项式的除法计算即可．
【详解】
设这个单项式为，
由题意得，，
，
故选：．
【点睛】考查单项式的乘法，单项式的除法
2．计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算积的乘方、再计算单项式乘多项式，将所得的结果与选项对比即可．
【详解】
解：
=
=，
故选：C．
【点睛】考查积的乘方和单项式乘多项式
3．多项式x3﹣5x2﹣3x﹣y中，有一个因式为（x﹣5），则y的值为（ ）
A．﹣15B．15C．﹣3D．3
【答案】A
【分析】设另一个因式是x2+bx+c，求出（x-5）（x2+bx+c）=x3+（-5+b）x2+（-5b+c）x-5c，求出-5+b=-5，-5b+c=-3，-y=-5c，再求出y即可．
【详解】
解：∵多项式x3-5x2-3x-y中，有一个因式为（x-5），另一个因式是x2+bx+c，
（x-5）（x2+bx+c）
=x3-5x2+bx2-5bx+cx-5c
=x3+（-5+b）x2+（-5b+c）x-5c，
∴-5+b=-5，-5b+c=-3，-y=-5c，
解得：b=0，c=-3，y=-15，
故选：A．
【点睛】考查因式分解的意义，多项式乘以多项式法则等知识点，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
4．如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为（）的小正方形（），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【详解】
解：（2a）2-（a+2）2
=4a2-a2-4a-4
=3a2-4a-4，
故选：C．
【点睛】考查平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式、去括号、合并同类项及幂的乘方，对已知的算式和各选项分别整理，然后选取答案即可．
【详解】
A、故本选项正确；
B、故本选项错误；
C、故本选项错误；
D、故本选项错误．
故选A．
6．若多项式x2＋x＋b与多项式x2－ax－2的乘积中不含x2和x3项，则－2的值是( )
A．－8B．－4C．0D．－
【答案】C
【分析】把两个多项式的乘积展开，找到所有x2和x3项的系数，令他们分别为0，解即可求出ab的值，代入所求代数式再求值即可．
【详解】
解：∵（x2+x+b）（x2-ax-2），
=x4-ax3-2x2+x3-ax2-2x+bx2-abx-2b，
=x4-（a-1）x3-（a-b+2）x2-（ab+2）x-2b，
又∵乘积不含x2和x3项，
∴a-1=0，a-b+2=0，
则a=1，b=3，
∴−2(a−)2=-2×（1-1）2=0．
故选：C．
【点睛】考查多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
7．下列计算中，正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据单项式乘以多项式的乘法法则计算即可.
【详解】
A. ，故不正确；
B. ，故不正确；
C. ，故不正确；
D. ，故正确；
故选D.
【点睛】考查单项式的乘法.单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.
8．计算(3a＋b)(－3a－b)的结果为( )
A．9a2－6ab－b2B．－b2－6ab－9a2C．b2－9a2D．9a2－b2
【答案】B
【分析】根据完全平方公式即可化简判断.
【详解】
=-=
故选B.
【点睛】考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式.
9．下列等式不成立的是（ ）
A．m2﹣16=（m﹣4）（m+4）B．m2+4m=m（m+4）
C．m2﹣8m+16=（m﹣4）2D．m2+3m+9=（m+3）2
【答案】D
【详解】
A、m2﹣16=（m﹣4）（m+4），故本选项正确；B、m2+4m=m（m+4），故本选项正确；C、m2﹣8m+16=（m﹣4）2，故本选项正确；D、m2+3m+9≠（m+3）2，故本选项错误．
故选：D．
10．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别利用负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法运算法则以及单项式乘单项式法则分别分析得出即可．
【详解】
解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选B．
【点睛】考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法运算法则以及单项式乘单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
11．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③B．②④C．①③④D．①④
【答案】A
【分析】
①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法④错误．
【详解】
解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：A．
【点睛】考查列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
12．将 3a2m﹣6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：①3am（a﹣2n+1）；②3a（am+2mn﹣1）；③3a（am﹣2mn）；④3a（am﹣2mn+1）．其中，正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】由提公因式法可直接进行排除选项．
【详解】
解：；
∴只有④是正确的；
故选D．
【点睛】考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
二、填空题
13．对于任何实数，，，，我们都规定符号的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为________．
【答案】1
【分析】先解变形为，再根据 ，把 转化为普通运算，然后把代入计算即可.
【详解】
∵，
∴，
∵ ，
∴
=(x+1)(x-1)-3x(x-2)
= x2-1-3x2+6x
=-2x2+6x-1
=-2(x2-3x)-1
=-2×(-1)-1
=1.
故答案为1.
【点睛】考查整式的混合运算及添括号法则，
14．如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成大长方形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式，请你写出其中任意三个等式：__________________________．
【答案】答案不唯一，如a2＋2ab＝a(a＋2b)；a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b)；a(a＋2b)－a(a＋b)＝ab
【分析】根据计算面积的方法多种多样，因此可以用不同的方式表达求解．
【详解】
把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：a2+2ab=a（a+2b）；
把图形分割成两个长方形，一边长分别是a+b，b，宽都是a，则有：a（a+b）+ab=a（a+2b）；
用整个图形的面积减去一个边长为a，a+b的长方形，得到另外一个长方形，边长是a，b，即：a（a+2b）-a（a+b）=ab．
故本题答案为：a2+2ab=a（a+2b）；a（a+b）+ab=a（a+2b）；a（a+2b）-a（a+b）=ab．
【点睛】考查用面积分割法检验乘法算式，是学习乘法运算最常见的形式，这种方法形象直观，容易理解．
15．计算的结果是____．
【答案】
【解析】
解：设，，则原式====．故答案为：．
【点睛】考查了有理数的混合运算．解题的关键是巧设未知数，利用换元法求解．
16．若，则______．
【答案】-808．
【分析】计算先提公因式101，然后利用拆项方法=，利用分配律化简=再计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=
=-808
故答案为-808．
【点睛】考查加减乘混合运算，利用因式分解提公因式，然后拆项，利用乘法分配律化简，掌握加减乘混合运算顺序与步骤，利用因式分解提公因式，然后拆项，利用乘法分配律化简是解题关键．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）分别计算零指数幂、绝对值和负整式指数幂，再依次相加减即可；
（2）分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可；
（3）利用同底数幂的乘除法公式计算即可；
（4）分别计算同底数幂的除法、积的乘方、单项式乘单项式，再合并同类项即可．
【详解】
解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=
=；
（3）原式=
=；
（4）原式=
=
=．
【点睛】考查整式的混合运算．主要考查零指数幂和负整数指数幂、同底数幂的乘除法、积的乘方公式和单项式乘单项式．掌握相关公式，能分别正确计算是解题关键．
18．阅读思考：我们知道：
；
；
；
．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①；
②；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为．如果，上述规律可表示为，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
【答案】（1）①，②；（2）合理性见解析；（3），合理性见解析．
【分析】
（1）根据观察到的规律直接计算可得；
（2）通过多项式相乘的运算直接计算可得；
（3）直接通过计算出的结果即可得出．
【详解】
解：（1）①，
②．
（2）
，
，
．
（3）仿照写出其规律等式为：，
理由如下：
，
．
【点睛】考查多项式乘法的应用
19．阅读理解并解答：
（方法呈现）
（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________．
（尝试应用）
（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值．
（拓展提高）
（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
【答案】（1），；（2）这个代数式的最大值是，这时相应的的值是；（3）此时这根铁丝剪成两段后的长度均为150cm，两个正方形的面积之和有最大值
【分析】
（1）根据题意即可求解；
（2）将化为即可求解；
（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意列出式子，通过配方求解．
【详解】
解：（1）由题意：，当时取到最小值；
故最小值为，相应的，
故答案：．
（2）
则这个代数式的最大值是，这时相应的的值是．
（3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意得：
当，两个正方形的面积之和有最大值．
【点睛】考查完全平方公式的应用，解题的关键是：会对代数式进行配方成完全平方公式再求解．
20．对于实数a，b，c定义一种新运算，规定
例如：
（1）求；
（2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积；
（3）若，求的值．
【答案】（1）15；（2）；（3）
【分析】
（1）根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据新定义运算法则列出方程，得到，运用完全平方公式可得，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得；
（3）根据新定义运算法则列出方程，配方得，根据非负数性质可得．
【详解】
（1）=
故答案为：15
（2）
又
（3）
，
【点睛】考查新定义运算、乘法公式