苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点07一元二次方程(原卷版+解析)

这是一份苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点07一元二次方程(原卷版+解析)，文件包含苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点07一元二次方程原卷版docx、苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点07一元二次方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
【知识点梳理】
一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式ax²+bx+c=0（a>0）；
正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
（1）明确只有当二次项系数a≠0时，整式方程ax²+bx+c=0才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣3
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程解的定义得到a2=-a+1，再用a表示a3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：方程x2+x-1=0的一个正实数根为a，
∴a2+a-1=0，
∴a2=-a+1，
∴a3=-a2+a=-(-a+1)+a=2a-1，
∴2a3+a2-3a=2×(2a-1)-a+1-3a=4a-2-a+1-3a=-1．
故选：B．
【点睛】考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意列出方程即可求出a的值．
【详解】
解：由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为2，
故选：C．
【点睛】考查一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式，理解基本定义是解题关键．
3．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意，依据一元二次方程的定义及一般形式：，即可；
【详解】
由题知：A、，对照一元二次方程一般形式，缺少的条件，故不正确；
B、，对照一元二次方程的一般形式，未知数个数为2个，故不正确；
C、，对照一元二次方程的一般形式，完全满足条件，故正确；
D、，对照一元二次方程的一般形式，未知数位于分母上，故不正确；
故选：C；
【点睛】考查一元二次方程定义及一般形式，关键在熟练一元二次方程的形式和性质；
4．关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．2
【答案】C
【分析】把x＝0代入方程计算即可求出k的值．
【详解】
解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，
解得：k＝1或k＝﹣1，
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
5．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、整理后，不含二次项，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、它是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、未知数次数为3，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
6．已知x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3B．3C．0D．0或3
【答案】B
【分析】直接把x＝2代入已知方程即可得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】
解：把x＝2代入方程，得，
解得：m＝3，
故选：B．
【点睛】考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．
7．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A. 是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B. 是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C. 是一元二次方程，故此选项符合题意；
D. 中含有分式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
8．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x﹣a2+4＝0的一个根为0，则a的值是（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．1
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得﹣a2+4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【详解】
解：把x＝0代入方程得﹣a2+4＝0，
解得a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的 定义以及一元二次方程的根，掌握以上定义的解题的关键．
9．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
解：A. ，当a≠0时，原方程是一元二次方程；故此选项不符合题意
B. ，含有两个未知数，原方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意
C. ，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故此选项符合题意
故选：D
【点睛】考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
10．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、，是分式方程，故此选项不符合题意；
B、，当时，不是关于的一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、，是关于的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、，不是方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程一般式的基本条件是解题的关键．
11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x+＝1B．x（x+3）＝5C．x3+2x＝0D．2x2+xy﹣3＝0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】
A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．对方程进行整理得：x2+3x﹣5＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就是一元二次方程．
12．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝1D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件进行解答．
【详解】
解：A、不是关于x的一元二次方程，故此选项错误；
B、a＝0时不是一元二次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项正确；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二、填空题
13．若是关于的方程的一个解，则的值为__________________．
【答案】
【分析】把x=2代入方程2x2-mx+1=0列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【详解】
解：依题意，得2×22-2m+1=0，
解得：m=，
故答案为：．
【点睛】考查的是一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．定义运算a⊗b＝a2－2ab+1，下面给出了关于这种运算的几个结论其中正确的（______）
A．2⊗5＝－15； B．不等式组的解集为x＜－；
C．方程2x⊗1＝0是一元一次方程； D．方程⊗x＝+x的解是x＝－1．
【答案】AD
【分析】
根据定义的运算规则a⊗b＝a2－2ab+1，对各选项逐一进行计算判断，即可得到答案．
【详解】
解：A．2⊗5=22-2×2×5+1=-15，故A正确；
B．不等式组等价于，解得该不等式组无解，故B错误；
C．2x⊗1=（2x）2-2×2x×1+1=4x2-4x+1＝0是一元二次方程，故C错误；
D．⊗x＝=+x则x=-1，故D正确；
故答案为：AD．
【点睛】考查了不等式组的解集、实数的运算、一元二次方程的定义等．
15．已知是关于的一元二次方程的一个根，若，则的值为____．
【答案】1．
【分析】把x=n代入方程求出mn2-4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【详解】
解：把x=n代入方程得：mn2-4n-5=0，即mn2-4n=5，
代入，得：5+m=6，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义．
16．若关于的方程的解为，则方程的解为___________．
【答案】
【分析】将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知，或3，从而求解
【详解】
解：∵关于的方程的解为，
∴方程的解为或3，
解得：．
【点睛】考查一元二次方程的解的概念，正确理解概念，利用换元法解方程是解题关键．
三、解答题
17．已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．
【答案】（1）2a2+3a+1；（2）6
【分析】
（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；
（2）把原方程整理得2x2+3x﹣5＝0，再根据解的定义得到2a2+3a=5，进而即可求解．
【详解】
解：（1）P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2）x2+x﹣＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程x2+x﹣＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
【点睛】考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义．
18．已知：x2+3x+1＝0．
求（1）x+； （2）x2+．
【答案】（1）-3；（2）7
【分析】
（1）由x≠0，利用方程两边都除以x，恒等变形即可；
（2）利用配方法x2+＝（x+）2﹣2整体代入求之即可．
【详解】
解：（1）∵x2+3x+1＝0，
而x≠0，
∴x+3+＝0，
∴x+＝﹣3；
（2）x2+＝（x+）2﹣2＝（﹣3）2﹣2＝7．
【点睛】考查方程的巧变形，和配方问题，掌握方程变形的方法，会利用配方法进行公式的转化是解题关键．
19．阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，得（）2 +﹣1=0．化简，得y2+2y﹣4=0，故所求方程为y2+2y﹣4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1）y2﹣2y﹣1=0；（2）a+by+cy2=0（c≠0）．
【分析】
(1) 根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
(2) 根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
【详解】
解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，
把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1=0，得：y2﹣2y﹣1=0，
故答案为：y2﹣2y﹣1=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0），
把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a （）2+b（）+c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0，
若c=0，有ax2+bx=0，
于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2=0（c≠0）．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
20．已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？
（2）当为何值时是一元二次方程？
【答案】（1）-2或1或0 （2）2
【分析】
（1）根据一元一次方程的定义，可得答案．
（2）根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
解：（1）由题意，得当时，，
当且时，；
当时，．
∴当或或时，是一元一次方程．
（2）由题意，得，且，解得，
∴当时，是一元二次方程．
【点睛】考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．