苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点17弧长及扇形的面积(原卷版+解析)

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【知识点梳理】
弧长公式：半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：， n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
扇形面积公式 ：半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：，n°的圆心角所对的扇形面积公式：
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心C是的中点，且扇形绕着点C旋转，半径，交于点G，半径，交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，连接EC，再证明△CMG≌△CNH，可证得白色部分的面积等于对角线为的正方形CMEN得面积，进而可求得阴影部分的面积．
【详解】
解：∵两个直角扇形的半径长均为，
∴两个扇形面积和为，
过C分别作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，连接EC，则四边形CMEN是矩形，
∵C是的中点，
∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴四边形CMEN是正方形，
∴∠CMG=∠MCN=∠CNH，
∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴白色部分的面积等于对角线为的正方形CMEN的面积，
∴空白部分面积为，
∴阴影部分面积为，
故选：D．
【点睛】考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面积是解答的关键．
2．如图，⊙的半径为5，A、B是圆上任意两点，且，若弦绕点O旋转一周，则扫过区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，线段AB旋转一周的过程中，扫过区域的面积是圆环的面积，过O作OC⊥AB，由垂径定理先求出OC的长度，即可求出圆环的面积．
【详解】
解：根据题意，
线段AB旋转一周的过程中，扫过区域的面积是圆环的面积；
过O作OC⊥AB，如图
由垂径定理，则，
∵，
∴，
∴圆环的面积为：；
故选：D．
【点睛】考查了垂径定理、勾股定理、以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出线段AB扫过的区域的形状．
3．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形ODCE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，然后得到矩形ODCE是正方形，最后利用扇形和正方形的面积公式计算即可．
【详解】
如图所示，连接OC
∵，，
∴四边形ODCE是矩形
∵点C是的中点
∴
∴
∴
∴四边形ODCE是正方形
∴
∴
∴
即
由扇形的面积公式可得：
∴
故选：B
【点睛】考查矩形的判定定理和性质、正方形的判定定理和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积的计算公式，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键．
4．如图，为的直径，点在上．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】
解：∵∠OCA=55°，OA=OC，
∴∠A=55°，
∴∠BOC=2∠A=110°，
∵AB=6，
∴BO=3，
∴的长为：=，
故选B．
【点睛】考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
5．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为120°，长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】贴纸部分的面积实际是扇形OAB和扇形OCD的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部分的面积，进而可求出贴纸部分的面积．
【详解】
解：S=S扇形OAB-S扇形OCD==25π（cm2），
故选：B．
【点睛】考查了扇形面积的计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
6．如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】
是等边三角形，是边上的中点
，
扇形
故选C．
【点睛】考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键．
7．如图ABC内接于⊙O，∠A＝60°，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则BC的弧长为（ ）
A．4πB．C．2πD．π
【答案】A
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，可求出∠COD＝60°，求出OC＝6，由弧长公式可得出答案．
【详解】
解：连接OB，OC，

∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°．
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠COD＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∵OD＝3，
∴OC＝2DO＝6，
∴的长为＝4π．
故选：A．
【点睛】考查弧长计算，熟练掌握圆中的基本定理与性质，熟记弧长公式是解题关键．
8．如图，是的直径，为半圆的中点，为弧上一动点，连接并延长，作于点，若点从点运动到点，则点运动的路径长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】首先根据点的轨迹，来确定点的轨迹，确定轨迹为圆后，再利用弧长公式进行求解．
【详解】
解：由题意知点的轨迹是圆，则点的轨迹是以为直径的圆上，以为直径作圆，如下图：
要求点运动的路径长，结合临界点法，当点与重合时，点到点处，当点与重合时，点到点处，
运动的路径长为的长，
由已知：点为半圆的中点，
，
点转过的圆心角为，
点转过的圆心角也为，
即对应的圆心角为，
根据弧长公式：
，
点运动的路径长为：，
故选：A．
【点睛】考查了动点的轨迹问题，解题的关键是：根据点的轨迹，来确定点的轨迹，确定为圆后，利用弧长公式求解时，要去找到所求弧长所对应的圆心角即可．
9．如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．
【详解】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
【点睛】考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
10．量角器圆心为，直径，一把宽为3的直尺的一边过点且与量角器交于、两点，如图所示，则弧的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的边角关系求出弧CD所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥OC，垂足为E，
∵直尺的宽度为3，即DE=3，
又∵直径AB =12,
∴半径OC=OD = 6，
∴DE=OD，
∴∠COD=30°，
∴，
故选：D．
【点睛】考查弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系和弧长的计算方法是得出正确答案的前提．
11．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．
∴∠AOB=
∴OB与围成的扇形的面积是
故选B．
【点睛】考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．
12．已知一条圆弧的度数为，半径为，则此圆弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式l=解答．
【详解】
解：此圆弧长为l==4πcm，
故选：B．
【点睛】考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
二、填空题
13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点P是边上任意一点，以点C为旋转中心．把按逆时针方向旋转，则在旋转过程中，点P运动的最短路径长为_________．
【答案】
【分析】画出旋转图形，求出△ABC的三边，根据垂线段最短，判断出CP⊥AB时，点P的运动路径最短，求出此时CP的长，再利用弧长公式计算．
【详解】
解：画出旋转图形如图：
∵AC2=32+32=18，BC2=42+42=32，AB2=72+12=50，
而点P是AB边上任意一点，
∴当CP⊥AB时，点P的运动路径最短，
此时CP===，
∴点P的最短运动路径为=，
故答案为：．
【点睛】考查了作图-旋转变换，求弧长，垂线段最短，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
14．如图，是的直径，切于点，线段交于点．若，，则弧的长为____________．
【答案】
【分析】求得半径和圆心角的度数，即可求得弧的长．
【详解】
解：∵切于点
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴弧的长
故答案为．
【点睛】考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
15．在中，，，，以为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E，以E为圆心，CE长为半径画弧，交AB于点F．交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为_____________．
【答案】
【分析】连接、，通过观察图形得到，分别求出每块面积即可．
【详解】
解：连接、，过点作于点
观察图形可以的得到，
在中，，，
∴，，
由题意可知，
∴为等边三角形，为等边三角形
∴
∴
∴
∴
在中，，
∴
∴
故答案为．
【点睛】考查了勾股定理、三角形和扇形面积的计算，将阴影部分表示成规则图形的面积是解题的关键．
16．如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点D，E，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交于点G，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】
连接CG,EG，则阴影部分的面积为，计算即可.
【详解】
如图，连接CG,EG，

∵，，，
∴AC=CG=CD=CE=EG=4，∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，△CEG是等边三角形，
∴∠GCD=∠DCE =30°，∠GCE=60°，
∴阴影部分的面积为：
=
=.
故答案为：.
【点睛】考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，拱形的面积，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键.
三、解答题
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析，；（3）
【分析】
（1）分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点的坐标；
（2）根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90°的点，然后依次连接，最后根据图象可得点的坐标；
（3）由（2）可先根据勾股定理求出OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解．
【详解】
解：（1）如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
（2）如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
（3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．
【点睛】考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式是解题的关键．
18．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．
【分析】
（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=，
∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，
∴，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为， ，．
（1）将向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，画出平移后得到的，并直接写出点 的坐标；
（2）将绕着原点逆时针旋转90°后得到．
①画出旋转后的；
②点旋转到点所经过的路径长为______个单位长度．
【答案】（1）作图见解析；点的坐标为；（2）①作图见解析；②．
【分析】
（1）根据平移的性质作出图形，然后根据图像求解即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；②连接，，利用网格求出，然后根据旋转角是90°，求出弧长即可．
【详解】
解：（1）如图示，即为所求的三角形，由图像可知，点的坐标为
（2）①如图示，即为所求的三角形．
②如图示，连接，，则点旋转到点所经过的路径长是 ，且旋转角是90°
∴
则，
【点睛】考查了平移作图和旋转作图，求弧长等知识点，能准确做出旋转后得图形是解题的关键．
20．如图，内有一点，，垂足为，以为圆心为半径画，与交于点，
（1）过点作的垂线与交于点，连接，过圆心作交于点，求证：是等腰直角三角形．
（2）若，，计算扇形的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）如图所示由扇形CPD是，可得，由，可得，可证（ASA），，可得是等腰直角三角形；
（2）由，，可求，由扇形面积公式．
【详解】
解：（1）如图所示
∵扇形CPD是，
，
，
，
，
，
又，，
，
在和中，
，
（ASA），
，
是等腰直角三角形；
（2），，
，
．
【点睛】考查三角形全等的判定与性质，等腰角三角形，圆心角，扇形面积公式，掌握三角形全等的判定与性质，等腰角三角形，圆心角，扇形面积公式是解题关键．