苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点14圆周角(原卷版+解析)

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【知识点梳理】
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．如图，是⊙的直径，点在⊙上，连接，，若，则（ ）
A．60°B．56°C．52°D．48°
2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．5
3．如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（ ）
A．B．5C．D．
4．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，为圆O的直径，且AB=8，C为圆上任意一点，连接、，以为边作等边三角形，以为边作正方形，连接．若为a，为b，为c，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，与是的两条互相垂直的弦，交点为点，，点在圆上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
A．95°B．90°C．85°D．80°
8．如图，中所对的圆周，点P在劣弧上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，内接于，CD是的直径，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，内接于，其外角的平分线交于点D，点A为弧CD的中点．若，则的大小为（ ）
A．84°B．85°C．86°D．88°
11．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，是的直径，点在上．．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
14．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，求∠CAB的度数________.
15．如图，点，，在上，，则的度数为______．
16．如图，在中，，则的度数是______°．
三、解答题
17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．
（2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：．
18．如图，等边三角形内接于，是上一动点，连接，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）填空：
①若，，则的长为____________；
②当的度数为_________时，四边形为菱形．
19．小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点是半圆上一动点，线段AB=6，CD平分，过点作交于点，连接．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段的长度作为自变量，，和的长度都是的函数，分别记为，和．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在半圆上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值：
①上表中的值是______
②操作中发现，“无需测量线段的长度即可得到关于的函数解析式”．请直接写出关于的函数解析式．
（2）小亮已在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图2所示．
①请在同一个坐标系中画出函数和的图象；
②结合图象直接写出当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
20．如图，在中，．点为边上一点，于点，点为上一点．连结并延长与相交于点，连结．已知．
（1）若平分，求证：≌．
（2）若，求的长．
（3）若，求的读数．
0
1.0
2.0
3.0
4.0
4.5
5.0
5.5
6
6
5.9
5.7
5.2
4.5
a
3.3
2.4
0
6
5.0
4.2
3.7
4
4.5
5.3
6.3
8.5