苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点12圆的对称性(原卷版+解析)

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【知识点梳理】
圆的对称性
(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是对称图形
诠释：
圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．
垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：
平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质
2．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】考查了垂径定理及勾股定理的应用．
3．点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】
解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP=CD=3cm．
根据勾股定理，得OP==4cm．
故选B．
【点睛】综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．B．
C．4D．2
【答案】B
【分析】
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题．
【详解】
解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2，
∴OM=，
ON=，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP=OM=2，
故选：B．
【点睛】考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，是的直径，弦于点，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出的长度．
【详解】
解：弦于点，cm，
cm，
在中，cm，
（cm），
cm，
故选：A．
【点睛】考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．
6．如图，C、D是以为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则x的最大值是（ ）
A．3B．C．2.5D．
【答案】C
【分析】
如图：延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM= DN，所以当DN为直径时，PM的值最大．
【详解】
解：如图：延长交于，连接．
，
，
，
，
当为直径时，的值最大，最大值为．
故选：C．
【点睛】考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
7．如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【答案】B
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】
解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5-x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AD=4，
由勾股定理可知：52=42+（5-x）2，
∴x=2，
∴CD=2，
故选：B．
【点睛】考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
8．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（ ）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
【答案】C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
【详解】
解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，
∴，本选项错误不符合题意；
B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点睛】考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（ ）
A．16B．20C．25D．30
【答案】C
【分析】连接AF，BD，先证明四边形ABDF是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC+BC＝15，求出k的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积．
【详解】
解：连接AF，BD，如图，
∵AC、BC是直径，
∴∠AFC=90°，∠BDC=90°，
∵DFAB，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AB=FD；
取AB的中点O，作OG⊥FD，
∵，
则设，，
由垂径定理，则，
∴，
∴，，，
由勾股定理，则
，，
∵AC+BC＝15，
∴，
∴；
∴，，，
∴阴影部分的面积为
∴；
故选：C．
【点睛】考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积．
10．如图，有一圆弧形桥拱，拱形半径，桥拱跨度，则拱高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据垂径定理和勾股定理得出OA2=AD2+OD2求解即可．
【详解】
解：根据垂径定理可知AD=8，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：
OA2=AD2+OD2
则102=82+（10CD）2
解得：CD=16或4，
根据题中OA=10m，可知CD=16不合题意，故舍去，
所以取CD=4m．
故选：A．
【点睛】考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于CD的等式是解题关键．
11．如图，的半径，弦于点，若，则的长为（ ）
A．7.5B．9C．10D．12
【答案】D
【分析】连接OD，由题意得OD＝OB＝OA＝7.5，OC=3/5OB＝4.5，再由垂径定理得CD＝CE=1/2DE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可得出答案．
【详解】
解：连接OD，如图所示：
∵⊙O的半径OA＝7.5，OC：BC＝3：2，
∴OD＝OB＝OA＝7.5，OCOB＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CEDE，
∴CD6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：D．
【点睛】考查了垂径定理和勾股定理．
12．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的点，把AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，且C、D均在直径AB上方，连接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，则AD的长度应是（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】C
【分析】AD交OC于E，如图，利用折叠的性质得 ，得到OC⊥AD，所以AE＝DE，再证明OE为△ADB的中位线得到OE＝2，利用勾股定理，在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，然后解方程组即可．
【详解】
解：AD交OC于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵△AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，
∴ ，
∴OC⊥AD，
∴AE＝DE，
∵OA＝OB，
∴OE为△ADB的中位线，
∴OE＝BD＝2，
在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，
在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，
∴r2﹣22＝（4）2﹣（r﹣2）2，解得r1＝﹣4，r2＝6，
∴AE＝＝4，
∴AD＝2AE＝8．
故选：C．
【点睛】考查折叠的性质和垂径定理，解题关键是利用折叠和垂径定理，设半径根据勾股定理列方程．
二、填空题
13．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm．
【答案】4
【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC，作AC的中垂线，与直线CD的交点就是圆心，已知圆心即可作出圆；连接圆心与A，根据勾股定理即可求得半径．
【详解】
如图，
连接OA，
∵CD是弦AB的垂直平分线，
∴，
设圆的半径是r．在直角△ADO中， ．
根据勾股定理得， ，
∴
故答案为：4
【点睛】考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键．
14．如图，在半径为1的扇形中，，点是弧上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为，，则的长为______．
【答案】
【分析】
连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
【详解】
解：连接AB，如下图所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，
∴，
∵，，
∴，，
∴为的中位线，
∴,
故答案为：．
【点睛】考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
15．如图，内接于圆O，连结，D，E分别是的中点，且，若等于，则等于______．
【答案】50°
【分析】连接OB，OC，利用垂径定理和三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵点D为BC中点，OB=OC，
∴OD⊥BC，
∵E为OA的中点，
∴OE=OA=OB，
∵OD=OE，
∴OD=OB，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵∠ODE=10°，
∴∠DOE=180°-10°-10°=160°，
∴∠AOB=360°-∠DOE-∠BOD=140°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=（180°-140°）=20°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBD=20°+30°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】考查了垂径定理，三角形内角和等知识，是重要考点，难度交易，掌握相关知识是解题的关键．
16．如图，在中，直径，弦，交直径于点E，，则________．
【答案】1
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE＝ED＝CD＝3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，即可得出结果．
【详解】
解：连接OC，如图所示：
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝AB＝5，
∴OE＝＝4，
∴BE＝OB−OE＝AB−OE＝5−4＝1，
故答案为：1．
【点睛】考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三、解答题
17．小航在学习中遇到这样一个问题：
小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在线段上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．
填空：的值为_________，的值为___________；
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
【答案】（1）3.0,5.6；（2）见解析；（3）3.3cm,4.6cm,或5.4cm
【分析】
（1）根据垂径定理和图表数据，即可求出m的值；根据表中EF长度数据的对称性，求出n的值；
（2）根据表格描点连线即可；
（3）根据横坐标即为AF的长， 表示AF与EF的函数关系，表示AF与AE的函数关系，将等腰三角形的分类讨论转化为求函数交点即可．
【详解】
（1）∵CD⊥AB，
∴,
由表可知，当AF=4时，点F与点D重合，如图，
则E与C重合，EF=CD,AC=AE,
在Rt△AEF中，已知AF=4.0,AE=5.0,
∴EF=3.0，即m=3.0;
由表可知，EF的长度数据关于m对称，
∴当AF=7.0时和当AF=1.0时，EF的长度相等，
∴EF=5.6，
故填5.6；
（2）如图，描点连线：
（3）如图，作直线y=x,
为等腰三角形有三种情况：
①AE=EF时，即AF=x为与的交点横坐标，如图，
AF=5.4cm，
②当AF=EF时，即求y=x与的交点横坐标，如图，
AF=3.3cm,
③当AE=AF时，即求与y=x的交点横坐标，如图，
AF=4.6cm，
综上所述，当△AEF为等腰三角形时，AF的长为3.3cm,4.6cm,或5.4cm．
【点睛】考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的分类讨论，函数的图像与性质，解题关键是理解题意，熟练掌握相关知识点．
18．（1）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知，，．求证：；
（2）如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是弧的圆心，为弧上一点，，垂足为．已知，，求这段弯路的半径．
【答案】（1）答案见解析；（2）这段弯路的半径是500m
【分析】
（1）由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC=AE．
（2）根据垂径定理即可求得CF的长，设这段弯路的半径长是r，则在直角△OCF中，OE=r，OF=(r-100)m，CF=300m利用勾股定理即可列方程即可求得r的长
【详解】
（1）证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
（2）连接CO，如图，∵OF⊥CD，
∴△OFC是直角三角形，
∵CD=600m，EF=100m，
∴CF=300m，
设OC=r，则OF=r-100
根据勾股定理：r2=（r-100）2+3002
则r=500，
∴这段弯路的半径是500m．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
19．如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点．
（1）求证：；
（2）连接，，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】
（1）利用同位角相等两直线平行，证明即可．
（2）证明△AOD是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）证明：是直径，，
，
，
，
．
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
．
【点睛】考查垂径定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识
20．如图，在平行四边行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
【答案】（1）CP＝5；（2）⊙C的半径为，EF＝．
【分析】
（1）连接AC，由勾股定理求出BH＝4，得出CH＝4，由勾股定理求出CA，当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）先证明四边形APCE是平行四边形，得出CP＝CE，证出四边形APCE是菱形，得出PA＝CP，设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出半径；作CM⊥EF于M，则CM＝AH＝3，由垂径定理得出ME＝MF＝EF，由勾股定理求出ME，即可得出EF的长．
【详解】
解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA＝，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即⊙C的半径为，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝，
∴EF＝2ME＝．
【点睛】考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理、平行四边形的判定方法、菱形的判定与性质等知识．
如图，点是线段上一动点，线段，的垂直平分线交于，取线段的中点，连接并延长交于，连接．若是等腰三角形，求线段的长度．
/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
/cm
6.7
5.6
4.5
3.5
3.5
4.5
6.7
/cm
6.7
6.5
6.2
5.7
5.0
4.2
3.6
3.2
2.9