苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点09一元二次方程的根与系数的关系(原卷版+解析)

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【学习目标】
1. 学会运用一元二次方程根的判别式
2. 熟悉掌握一元二次方程的根与系数的关系以及运用.
【知识点梳理】
一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△3；（2）8
【分析】
（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根则判别式为正，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可求得k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，把表示为两根的和与两根的积的代数式，得到关于k的方程，解方程即可求得k．
【详解】
（1）由题意，得：
解不等式，得：k>3
即当k>3时，方程有两个不相等的实数根
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得：，
∵，
∴
解得：，
由（1）知，方程有两个不相等的实数解，则k>3，故k=-2不合题意，舍去
所以k=8
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．
【答案】（1）k＜4且k≠2；（2）-1
【分析】
（1）根据题意可得根的判别式△＞0，列出不等式求解即可；
（2）根据k的最大值为3，根据题意先求出m的值，然后解一元二次方程即可求得答案．
【详解】
解：（1）由该一元二次方程有两个不相等的实数根得
且△
解得：k < 4
由二次项系数不为0得
，即；
∴；
（2）由题意的，
把y = 3 代入得
，
解得：；
把带入得
，
解得：，
∴该方程另一根；
【点睛】考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m的值．
【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为，m的值为
【分析】
（1）由△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；
（2）设方程的另外一根为a，根据一元二次方程根与系数的关系得出，解之即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）
＝m2+6m+9﹣4m﹣4
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另外一根为a，
根据题意，得：，
解得：，
所以方程的另一根为，m的值为．
【点睛】考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系