新北师大版数学七下 第2章 相交线与平行线（单元测试-培优卷有答案解析）

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第2章 相交线与平行线（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若∠α的补角与∠β的余角相等，则∠α-∠β等于（　） A．270° B．180° C．90° D．不能确定 2．在图中，属于同位角的是（   ） A．∠1和∠3 B．∠1和∠4 C．∠1和∠2 D．∠2和∠4 3．下列说法正确的是（     ） A．过一点有一条直线平行于已知直线； B．两条直线不相交就平行 C．两点之间，直线最短； D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 4．如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是（    ） A．作一条线段等于已知线段 B．作的平分线 C．过点C作AB的平行线 D．过点C作DM的垂线 5．若互补的两个角有一条公共边，则这两个角的平分线所组成的角（    ） A．一定是直角 B．一定是锐角 C．一定是钝角 D．是直角或锐角 6．已知：，，且的补角等于的余角，则下列结论一定正确的是（    ） A．是锐角 B．是钝角 C． D． 7．如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（        ）    A． B． C． D． 8．如图，已知长方形，将沿对角线折叠，记点的对应点为，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，平分，，，点在直线上，满足. 若，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，三条直线交于同一点，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶1，则∠4 = ． 12．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    13．如图，的平分线与的平分线相交于点，过作交于，交于，若，则的长为 ． 14．如图，有三条两两相交的公路、、，从地测得公路的走向是北偏东50°，从地测得公路的走向是北偏西40°．若、、的长分别为千米，千米、千米，点是公路上任意一点，则线段的最小值为 千米．（用含、、的式子表示）    15．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为 ．（用含的代数式表示） 16．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ． 17．如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为 ． 18．如图，平行线分别交射线于点，交射线于点，点在射线上，且不与点、或重合．若，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且． （1）求的度数； （2）若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由． 20．（8分）已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由． 解答：是，理由如下： ∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知） ∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义） ∴AD∥EG（                            ） ∴∠1＝∠E（                           ） ∠2＝∠3（                             ） ∵∠E＝∠3（已知） ∴ ＝ ∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）. 21．（10分）已知，如图，在中，点D、E分别是边、上的点，且， （1）若，求的度数； （2）连接，在上找一点F使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若平分，求证：平分． 22．（10分）如图，点在上，，且平分．   （1）平分吗？试说明理由． （2）若，，求证：． 23．（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n． （1）当时，若，则∠2＝___，∠3＝___； （2）当时，若，则∠3＝___； （3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明） 24．（12分）（1）【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角． （2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为_________（用含字母的代数式表示）； （3）【应用】如图③，，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分、，分别交射线于点C，D．求与的差．  参考答案 1．C 解：由题意得：180°-∠α=90°-∠β， ∴∠α-∠β=180°-90°=90°， 故选C. 2．C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义进行判断即可， 解：A. ∠1和∠3是同旁内角，故该选项不符合题意， B. ∠1和∠4是内错角，故该选项不符合题意， C.∠1和∠2是同位角，故该选项符合题意， D.∠2和∠4是对顶角，故该选项不符合题意. 故选C． 【点拨】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答． 3．D 【分析】根据应为过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；同一平面内不重合的两条直线的位置关系；两点之间，线段最短； 解：A、过一点有一条直线平行于已知直线，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线； B. 两条直线不相交就平行，说法错误，应为在同一平面内不相交的两条直平行； C. 两点之间，直线最短，说法错误，应为两点之间，线段最短； D. 在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法正确. 【点拨】本题主要考查平行线公理、线段的性质，直线的位置关系，熟记这些定理和定义是解决问题的关键． 4．D 【分析】由作图痕迹可知作了的平分线并截取了，所以选项A，B可以体现，由，得，所以，所以选项C可以体现，故选D． 解：A．根据尺规作图作线段相等的方法可得，画弧就是在做“作一条线段等于已知线段”，故该选项不符合题意； B．根据尺规作图作角平分线的方法可得，以为圆心，以恰当长度为半径画弧，再以弧和交点为圆心画弧交于一点，连接交点与形成的射线就是“作的平分线”，故该选项不符合题意； C．根据尺规作图，在有“角平分线”与“等腰三角形”两个基本图形的基础上，一定会有“平行线”，因此，以为圆心画弧得到的等腰即可得出“过点C作AB的平行线”，故该选项不符合题意； D．根据尺规作图作垂线的方法可知，要用作“中垂线”的方法才能做出垂线，而图中并没有作中垂线的相关痕迹，故该选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查基本尺规作图，涉及到作线段相等、作角平分线、作平行线、作垂线等相关操作，熟练掌握五类基本尺规作图的操作方法，能通过痕迹识别五类基本尺规作图是解决问题的关键． 5．D 【分析】本题主要考查角平分线的定义和补角的定义，分类讨论公共边所处位置，再结合角平分线性质即可判断出答案． 解：互补的两个角有一条公共边，即两角之和为180度，有下图两种情况： 则互补的两个角的平分线所成的角可能为直角也可能为锐角， 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了余角和补角以及相关计算，根据题意一一判断即可． 解：A．根据题意得，化简得，由于角大于零，则是钝角，故本选项不符合题意； B．根据有余角，可以推断出是锐角，不是钝角，故本选项不符合题意； C．根据的补角：，的余角：，根据题意得：，化简得，故本选项符合题意； D．无法判断，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．D 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 解：、平分，， ，故不符合题意； 、， 平分 ，故不符合题意； 、， 平分 ，故不符合题意； 、， 不能判断，故符合题意， 故选：． 【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 8．B 【分析】由矩形的性质可得，从而可得，由折叠的性质可得，最后由平行线的性质即可求得的度数． 解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质是解题的关键． 9．C 【分析】分类讨论：①当点H在点F的上方时，设，根据时平行线的性质和垂直的性质可得、，再根据角平分线的性质可得即，再结合可得，然后可得，再根据列式即可求得k；同理可求，②当点H在点F的下方时k的值． 解：如图，当点H在点F的上方时，设， ∵ ∴， ∵， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点H在点F的下方时， ∵ ∴， ∵， ， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线和灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 10．A 【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键． 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：． 11．60° 【分析】由图可知，∠1与∠4是对顶角，∠2、∠3、∠4的和为180°，再根据已知条件列式计算即可． 解：∵∠1与∠4，∠1：∠2：∠3=2：3：1， ∴∠4：∠2：∠3=2：3：1， ∵∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠3=30°，∠4=60°，∠2=90°， 故答案为60°． 【点拨】本题考查了对顶角和邻补角，对顶角相等，邻补角互补，是识记的内容． 12．或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 13．10 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质“两直线平行，内错角相等”、等腰三角形的性质，掌握角平分线的定义和平行线的性质得证是关键． 由的平分线与的平分线相交于点得到，再由得到，得到，从而得到，然后由得到，从而得到． 解：∵的平分线与的平分线相交于点， ∵， ∴ 故答案为：10． 14． 【分析】过C作于P，依据，可得在中，得出，代入数值求解即可． 解：如图，过C作于P，    由题可得，， ∴， ∴ ∴中，， ∴， 即线段的最小值为， 故答案为． 【点拨】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 15． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的性质，以及角的运算，根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 解：由题可知，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 16．74 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，过点作，先由垂线的定义得到，则由两直线平行内错角相等得到，证明得到，再根据两直线平行同旁内角互补得到，则． 解：如图所示，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．/150度 【分析】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，先延长，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可，熟练掌握性质定理是解题的关键． 解：如图，延长，交于点， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．/度 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，过作，与相交于点，由得到，进而得到，，即，再由即可求解，掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键． 解：过作，与相交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（1）；（2）OB是的平分线，理由见分析 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义： （1）由对顶角相等可得，再根据即可求解； （2）由邻补角的性质求得，再由角平分线的性质求得，即可得出结论． （1）解：， ， ，， ； （2）解：是．理由如下： ， ， 平分，， ， ，， ， 是的平分线． 20．同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠1=∠2. 解：是，理由如下： ∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）， ∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义）， ∴AD//EG（同位角相等,两直线平行）， ∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠E＝∠3（已知）， ∴∠1＝∠2， ∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠1=∠2． 21．（1）；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）由得出，再根据两直线平行同位角相等即可求的度数； （2）只需作即可； （3）利用等量代换角平分线的性质即可证明平分． （1）解：∵， ∴， ∴； （2）如图所示，点F即为所求作的点，使得    （3）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴平分. 【点拨】本题考查角平分线的计算，平行线的判定与性质，尺规作图——作相等的角等知识，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 22．（1）平分，理由见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）由易得，证明，由平分易得，从而，故平分； （2）证明，，可得，，再利用平行公理可得结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴ ∴． 又∵平分， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵，，，， ∴，， ∴，， ∴． 【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、平行公理的应用，垂直的性质，熟记平行公理的含义是解本题的关键． 23．（1）100°；90°；（2）90°；（3），见分析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再又反射的特点即可求∠3； （2）解题步骤同（1）； （3）根据（1）、（2）反向证明，推理出∠3的度数； 解：（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴∠2=100° ∵ ∴ ∵ ∴ ∴∠3=90° （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴∠2=2x° ∵ ∴ ∵ ∴ ∴∠3=90° （3）当时， ∵， ∴． 又由题意知，， ∴ 由同旁内角互补，两直线平行，可知： 【点拨】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 24．（1）∠DOE＝90°，∠COE的余角为∠DOC和∠DOA；（2）；（3）∠ACB与∠ADB的差为56° 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，再根据∠DOE＝∠DOC+∠COE进行求解即可； （2）根据角平分线的定义得到，，再由∠MON＝∠MOC+∠NOC进行求解即可； （3）先由平行线的性质求出∠ABN＝180°﹣68°＝112°，∠ACB=∠CBN，∠CDB=∠DBN，从而推出∠ACB-∠ADB=∠CBN-∠DBN=∠CBD由（1）结论可知，，得到∠ACB﹣∠ADB＝∠CBD＝56°． 解：（1）∵射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC， ∴，， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE ，∠COE的余角为∠DOC和 ∠DOA ； （2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC， ∴，， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC ； （3）∵AMBN，∠A＝68°， ∴∠ABN＝180°﹣68°＝112°，∠ACB=∠CBN，∠CDB=∠DBN， ∴∠ACB-∠ADB=∠CBN-∠DBN=∠CBD 又∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN， ∴由（1）结论可知，， ∴∠ACB与∠ADB的差为56°． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．