【2025年秋季】北师大版数学九年级上册4.9 回顾与思考 课件+教案+大单元教学设计

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回顾与思考目录目 录1.了解比例的基本性质，黄金分割。2.通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。3.了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。4.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。5.通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。6.从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。知识框架一、本章知识结构图知识梳理一、成比例线段1、对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如 （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。2、线段的比要注意以下几点：线段的比是正数。单位要统一。平行线分线段成比例知识梳理3、比例基本性质4、合比性质：5、等比性质：典例精析典例精析典例精析典例精析知识梳理二、相似多边形1、相似多边形的定义：如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似。2、相似多边形的判定：如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似。3、相似多边形的性质：知识梳理（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。（2）相似多边形周长的比等于相似比。（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方。典例精析1. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 ．2. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF与 △ABC 相似，则 AF =　　　　.3. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之为 .　36 和 392 或 4.51 : 9三、相似三角形知识梳理相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。知识梳理相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。（2）相似三角形的周长比等于相似比。（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。相似三角形的应用知识梳理（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。典例精析1.如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿。2：52.已知三角形甲各边的比为3：4：6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm。3.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm，在腰AC上取点D，使△ABC∽△BDC，则DC=______。4.如图，△ADE∽△ACB，则DE：BC=_____。52cm1:3填空题典例精析5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）。A、AC：BC=AD：BD B、AC：BC=AB：ADC、AB2=CD·BC D、AB2=BD·BC6.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。D4典例精析证明题 6.如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.(1) 求证：△ABD ∽△CED；证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线， ∴∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED．(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.典例精析解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD，∴CD＝2，AD＝4， MD＝1.M在 Rt△BDM 中，由(1) △ABD ∽△CED得，即∴典例精析测高题7.如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长．解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，即∴∴ BC＝6m.在 Rt△ABC 中∵ ∠A＝30°，∴ AB＝2BC＝12 m，即树长 AB 是 12 m.四、位似图形知识梳理如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。典例精析位似图形的性质1.进行位似变换后得到的图形与原图形相似，对应点的连线都经过位似中心，对应顶点到位似中心的比等于相似比。2.进行位似变换时，位似中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部或图形的一边上，图形的顶点处。3.画已知图形的位似图形时，要明确位似中心，相似比，以及两图形在位似中心的同侧或两侧。典例精析1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 B典例精析3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC 是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 . C4 : 316 : 94. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为 .(4，－3)典例精析5、如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. ABC(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 解：如图所示.OA′B′C′(2) 线段 AA′ 的长度是 典例精析6. 如图，△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)， C (6，2)，并求出 B 点坐标；解：如图所示， B (2，1).典例精析(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；解：如图所示. (3) 计算△A′B′C′的面积 S.【知识技能类作业】必做题：课堂练习1.已知线段a，b，c，求作线段x，使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是(    ) 2.如图，点P为▱ABCD的边AD上的一点，点E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为(     )A. 24    B. 12    C. 6    D. 3AA【知识技能类作业】必做题：课堂练习3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5 m.已知小明的身高为1.5 m，则这棵槟榔树的高是(    )A.3 m    B.4.5 m    C.5 m    D.7.5 mD4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，DE＝2，则BC的长是    14【知识技能类作业】必做题：课堂练习5. 如图，路灯距离地面8 m，身高1.6 m的小明站在距离路灯的底部(点O)20 m的点A处，则小明的影子AM的长为         m.6. 如图S4－8，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为(1,1)，点C的坐标为(4,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是15.5【知识技能类作业】选做题：课堂练习7.已知：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14。问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。课堂练习解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP则有AB：CD=PB：PD设PD=x，则PB=14―x，∴6：4=（14―x）：x∴x=5.6课堂练习（2）假设存在这样的点P，使△ABP∽△PDC，则有AB：PD=PB：CD设PD=x，则PB=14―x，∴6：x=（14―x）：4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似。【综合拓展类作业】课堂练习 8.如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC上，△ABC 的高 AD 与边EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm.课堂练习∵ EF//BC，∴△AEF∽△ABC，又∵ AM＝AD－MD＝80－x，解得 x = 48.即这个正方形零件的边长是 48 mm. 课堂练习9.如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.解得 CD = 5.4m.故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．课堂总结图形的相似1、成比例线段；平行线分线段成比例；比例的性质（基本性质、合比性质、等比性质）。2、图形的相似：相似三角形的判断；相似三角形的性质；黄金分割，相似三角形的运用。3、图形的位似：位似图形的判断、性质；位似中心；位似比。图形位似变换。板书设计【知识技能类作业】必做题：作业布置ACC作业布置B1604:3作业布置7.作为主持人,小明应该站在舞台长度的黄金分割点处,如图,若舞台AB长为20米,小明现在站在A处,则他应朝B处至少走      米.(结果精确到0.1米) 8.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量某建筑物的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,小明与建筑物底部的距离CD=8 m,则建筑物的高度AB=     m. 7.65.5【知识技能类作业】选做题：作业布置在∆ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况为， 另一种情况为 。作业布置解：设经过x秒∆BPQ与∆BAC相似当 即解得x=2.当 即解得x=0.8.∴经过2秒或0.8秒∆BPQ与∆BAC相似【综合拓展类作业】作业布置【综合拓展类作业】作业布置11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-2),B(-5,-4),C(-1,-5).(1)以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A1B1C1,请在网格纸中画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标.(2)若图中每个小方格的面积为1,求出△A1B1C1的面积.【综合拓展类作业】作业布置【综合拓展类作业】作业布置12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°. (1)求证:△ABE∽△ECD.(2)若AB=4,BE= ,求CD的长.,解：(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°,又∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=45°,∴∠BAE=∠CED,∴△ABE∽△ECD.【综合拓展类作业】作业布置