第四章 图形的相似 专题01 平行线平分线段成比例【九大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-北师大版初中数学九上

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专题01 平行线平分线段成比例 考点类型 知识一遍过 （一）比例的性质 ①基本性质：ab=cd⇔ad＝bc；（b、d≠0） ②合比性质：ab=cd⇔a±bb＝c±dd；（b、d≠0） ③等比性质：ab=cd＝…＝mn＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔a+c+…+mb+d+…+n＝k．（b、d、…、n≠0） （二）比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． （三）平行线平分线段成比例 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB∥CD，则. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. （四）黄金分割 黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝=eq \f(\r(5)－1,2)≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点一遍过 考点1：比例的性质 典例1：已知x:y=2:3，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A．x2y=34 B．x+2y+2=54 C．x2y=94 D．x+yx=52 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵x:y=2:3， ∴xy=23，3x=2y， A、x2y=x3x=13≠34，故本选项错误，不符合题意； B、当x=2，y=3时，x+2y+2=45≠54，故本选项错误，不符合题意； C、x2y=223=43≠94，故本选项错误，不符合题意； D、x+yx=1+yx=1+32=52，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】若xy=32，则x+yy的值为（    ） A．12 B．32 C．25 D．52 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出x=32y，代入所求式子中，即可求出答案． 【详解】解：∵xy=32， ∴x=32y ∴x+yy=32y+yy=52， 故选：D． 【变式2】若ab=cd=ef=35，则a−2c+3eb−2d+3f= ． 【答案】35/0.6 【分析】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．根据ab=cd=ef=35可得a=35b,c=35d,e=35f，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果． 【详解】解：∵ ab=cd=ef=35， ∴ a=35b,c=35d,e=35f， ∴ a−2c+3eb−2d+3f=35b−2×35d+3×35fb−2d+3f=35b−2d+3fb−2d+3f=35， 故答案为：35． 【变式3】设k=a+b−c2c=a−b+c2b=−a+b+c2a，则k的值为 ． 【答案】12或−1 【分析】依据等比性质可得，k=a+b+c2a+b+c，分两种情况讨论，即可得到k的值． 【详解】解：当a+b+c≠0时， ∵ k=a+b−c2c=a−b+c2b=−a+b+c2a， ∴由等比性质可得，k=a+b+c2a+b+c， 即k=12； 当a+b+c=0时，b+c=−a， ∴k=−a+b+c2a=−2a2a=−1； 综上所述，k的值为12或−1． 故答案为：12或−1 【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 考点2：线段的比 典例2：某两地的实际距离为6千米，画在地图上的距离是20厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A．1:300 B．1:3000 C．1:30000 D．1:300000 【答案】C 【详解】6千米=6000米=600000厘米， ∴地图上的距离与实际的距离之比是20:600000=1:30000， 故选：C． 【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义． 【变式1】若a，b，c，d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=8cm，则线段d的长为（    ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如ab=cd，我们就说这四条线段成比例，得出ab=cd，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：∵a，b，c，d成比例线段， ∴可得：ab=cd， 又∵a=5cm，b=2.5cm，c=8cm， ∴52.5=8d， 解得：d=4， ∴线段d的长为4cm． 故选：B 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键． 【变式2】已知7m=2n，则(m+n)：m= ． 【答案】92 【分析】根据比例关系假设m，n，代入即可求值． 【详解】∵7m=2n， ∴mn=27， ∴设m=2k(k≠0)，n=7k(k≠0)， ∴(m+n):m=(2k+7k):2k=9k:2k=92 【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系． 【变式3】已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm． 【答案】32 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即b2＝3×6， 解得b＝±32（线段是正数，负值舍去）， ∴a和c的比例中项b＝32cm． 故答案为：32． 【点睛】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是本题的关键，注意线段不能是负数．如果b是a、c的比例中项，那么b2＝ac. 考点3：成比例线段 典例3：下列各数能组成比例的是（   ） A．0.4，0.6，1，1.5 B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键． 根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、因为0.4×1.5=0.6×1，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意； B、因为0.2×30≠0.8×12，所以0.2，0.8，12，30不能组成比例，不符合题意； C、因为1×6≠3×4，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意； D、因为1×4≠3×2，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意． 故选：A． 【变式1】已知线段a=2,b=3,c=4，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，根据线段a，b，c，d成比例，得到ab=cd，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：ab=cd， ∵a=2,b=3,c=4， ∴23=4d ∴d=6； 故选D． 【变式2】已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=3，b=2，c=6，则d的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段a，b，c，d成比例，则a:b=c:d，注意顺序，位置不能随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，a=3，b=2，c=6， ∴a:b=c:d， ∴d=bca=2×63=4， ∴d的值是4． 故答案为：4． 【变式3】小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ． 【答案】2 【分析】根据ab=bc=2得到a，b，c之间的关系，再等量代换得到a，c的关系． 本题考查与成比例线段相关的比例式的计算，根据比例相等得到等量关系是解决问题的关键． 【详解】∵ab=bc=2， ∵a=2b，b=2c， ∴a=2×2c=2c， ∴ac=2， 故答案为 2． 考点4：黄金分割 典例4：如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A．805−160cm B．803−120cm C．405−80cm D．805−120cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为5−12．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键． 因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段AC，BD的长度，最后根据CD=AC+BD−AB即可得出结论． 【详解】∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB=80cm， ∴AC=5−12AB=5−12×80=405−40cm， ∵点D是靠近点A的黄金分割点， ∴DB=5−12AB=5−12×80=405−40cm， ∴CD=AC+BD−AB=2×405−40−80=805−160cm， ∴支撑点C，D之间的距离为805−160cm． 故选：A． 【变式1】2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（ACAE， ∴BE=5−12AB=5−1米， 故答案为：5−1． 【变式3】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．（结果保留根号） 【答案】55−5/−5+55 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算AP即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BCAC>BC，且使AC是AB和BC的比例中项（即AB:AC=AC:BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，黄金分割的比值是5−12，即ACAB=BCAC=5−12． 【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP>PB），AB的长度为10cm， ∴APAB=5−12， ∴AP=5−12AB=5−12×10=55−1=55−5cm， ∴AP的长度为55−5 cm． 故答案为：55−5． 考点5：“#”字型 典例5：如图，直线AB∥CD∥EF，则（    ） A．ACAE=BDBF B．ACAE=BDDF C．ACCE=BDBF D．ACCE=DFBD 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ACAE=BDBF，ACCE=BDDF， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 【变式1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在腰AB、CD上，且EF∥BC，下列比例成立的是（    ） A．AEAB=ADEF B．AEAB=EFBC C．AEAB=DFFC D．AEAB=DFDC 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论． 【详解】解：∵AD∥BC，EF∥BC， ∴AD∥BC∥EF， ∴AEAB=DFDC， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键． 【变式2】如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果ABBC=23，DE=4，那么线段EF的长是 ．    【答案】6 【分析】由平行线所截线段对应成比例可知ABBC=DEEF，然后代入DE=4求解即可． 【详解】解：∵AD∥BE∥CF， ∴ABBC=DEEF=23， ∵DE=4， ∴EF=6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 【变式3】如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= · 【答案】7.5/152/712 【分析】先根据平行线的判定方法得到DA∥EB∥FC，然后根据平行线分线段成比例定理得到26=DF−5DF，然后利用比例性质计算DF． 【详解】解：∵DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC， ∴DA∥EB∥FC， ∴ABAC=DEDF，即26=DF−5DF， ∴DF＝7.5． 故答案为7.5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质． 考点6：“8”字型 典例6：如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，DE=1，AB=4，则下列结论正确的是（    ） A．EF=4AE B．CF=4AD C．AF=4AE D．CF=4BC 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，AB=CD=4，根据DE=1，得出CE=CD−DE=3，根据平行线分线段成比例定理得出AEEF=ADCF=DECE=13，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形ABCD中， ∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD=4， ∵DE=1， ∴CE=CD−DE=3， ∵AD∥BC， ∴AEEF=ADCF=DECE=13， ∴EF=3AE，CF=3AD，故A、D不符合题意； ∴AF=AE+EF=4AE，故C符合题意； ∵CF=3AD，BC=AD， ∴CF=3BC，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E，则DF的对应线段是（    ）    A．AB B．BC C．CE D．BD 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解． 【详解】解：依题意，DF的对应线段是CE, 故选：C． 【变式2】如图，直线l1 ∥ l2 ∥ l3，已知AG=6cm，BG=12cm，HD=9cm，CD= cm． 【答案】13.5 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：∵ l1 ∥ l2 ∥ l3， ∴ AGBG=CHDH， ∵ AG=6cm，BG=12cm，HD=9cm， ∴ 612=CH9， ∴ CH=4.5cm， ∴ CD=CH+HD=4.5+9=13.5cm， 故答案为：13.5． 【变式3】如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE=6，EO=4，BO=5，AF=6，那么AD= ． 【答案】10 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ BECE=AFDF， ∵CE=6，EO=4，BO=5，AF=6， ∴ 96=6DF， ∴DF=4， ∴AD=AF+DF=6+4=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 考点7：“A”字型 典例7：在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，AE=4，则EC等于（　　）    A．10 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得AEEC=ADDB=23，问题即可得解． 【详解】解：∵DE∥BC，AD:DB=2:3， ∴AEEC=ADDB=23， ∵AE=4， ∴4EC＝23， 解得：EC=6， 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中一定正确的是（　　）    A．ADAB=AEEC B．AGGF=AEBD C．BDAD=CEAE D．AGGF=ACEC 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质解答即可．本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】A、∵DE∥BC， ∴ADAB=AEAC，错误，不符合题意； B、∵DE∥BC， ∴AGGF=AEEC，错误，不符合题意； C、∵DE∥BC， ∴BDAD=CEAE，正确，符合题意； D、∵DE∥BC， ∴AGGF=AEEC，故Ｄ错误，不符合题意； 故选C． 【变式2】如图，已知DE∥AC，DF∥BC，求：（1）CFAC+ECBC= ；（2）CFAF⋅CEBE= ． 【答案】 1 1 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得ECBC=ADAB，CFAC=BDAB，即可求解； （2）根据平行线分线段成比例可得CFAF=BDAD，CEBE=ADBD，即可求解． 【详解】解：（1）∵DE∥AC， ∴ECBC=ADAB， ∵DF∥BC， ∴CFAC=BDAB， ∴ CFAC+ECBC= BDAB+ADAB=ABAB=1； 故答案为：1； （2）∵DF∥BC， ∴CFAF=BDAD， ∵DE∥AC，， ∴CEBE=ADBD， ∴CFAF⋅CEBE=BDAD⋅ADBD=1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【变式3】如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF//CB，交AB于点F，如果EF=1，那么菱形ABCD的周长为 【答案】8． 【分析】由三角形中位线定理可求BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解． 【详解】解：∵E是AC中点，且EF//BC，交AB于点F， ∴AECE=AFBF=1， ∴AF=BF，且AE=CE， ∴点F是AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=12BC， ∵EF=1， ∴BC=2， ∴菱形ABCD的周长=2×4=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单． 考点8：平行线平分线段成比例——计算 典例8：如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段AC=15，则线段AB的长是（    ） A．5 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点A作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点D、E，由题意可得，AD=23AE，再由平行线分线段成比例定理，得到ABAC=ADAE=23，即可求出线段AB的长． 【详解】解：如图，过点A作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点D、E， 由题意可知，AD=2DE， ∴AD=23AE， ∵BD∥CE， ∴ABAC=ADAE=23， ∵AC=15， ∴AB=10， 故选：D． 【变式1】如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，若AFFD=14，则AEAC为（    ） A．18 B．19 C．110 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点D作DM∥BE交AC于点M，利用BD=CD，得EM=CM，再利用平行线分线段成比例可得AEEM=14，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：过点D作DM∥BE交AC于点M，如图， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵DM∥BE， ∴EM=CM， ∵DM∥BE， ∴AFFD=AEEM=14， ∴AEEC=18， ∴AEAC=19， 故选：B． 【变式2】如图，EF∥AD∥BC，如果AE=3，AB=9，DC=12，那么DF= ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出AEAB=DFDC，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵EF∥AD∥BC， ∴AEAB=DFDC，即39=DF12， ∴DF=4， 故答案为：4． 【变式3】如图所示，直线l1∥l2∥l3，直线l1、l2、l3对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若AC=12cm，则BC等于 cm． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用．根据平行线分线段成比例定理得出ABBC=DEEF，代入数据，求解即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴ABBC=DEEF， ∵DE=8−5=3cm，EF=14−8=6cm，AC=12cm， ∴12−BCBC=36， 解得：BC=8， ∴BC=8cm， 故答案为：8． 考点9：平行线平分线段成比例——三角形中位线 典例9：如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD=3：1，BC=10，则CE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．103 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作DH∥AE，交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到BEEC=32，计算即可． 【详解】解：过点D作DH∥AE，交BC于H， 则CHHE=CDDA=1，BEEH=BFFD=3， ∴BEEC=32， ∵BC=10， ∴CE=4， 故选：B． 【变式1】如图，已知点A(0，6)在y轴上，点B为x轴正半轴上一动点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC， 连接BC， 取BC中点D， 连接OD， 移动点B， 若OD∥AC， 则此时点B横坐标为（  ）    A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，平行线分线段成比例，线段垂直平分线得到性质和判定． 设AB与OD相较于点F，则AF=FB，∠DFB=90°，得到AE=OB,则OD垂直平分AB，得到OB=OA=6即可解题． 【详解】如图,设AB与OD相较于点F，    ∵点D是BC的中点,OD∥AC, ∴BFFA=BDDC=1，∠DFB=∠CAB=90°， ∴AF=FB， ∴OD垂直平分AB， ∴OB=OA=6, ∴点B的横坐标为6. 故选C. 【变式2】作业本中有一道题：“如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E在BC上，且BE=3CE，AE，BD交于点F，求AF:EF的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点E作EG∥BD，交AC于点G．最后小明求解正确，则AF:EF的值为 ． 【答案】43/113 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据EG∥BD可得CEBC=CGCD，结合BE=3CE，可得CGCD=14，根据点D为AC的中点即可得到答案． 【详解】解：∵EG∥BD， ∴CEBC=CGCD， ∵BE=3CE， ∴CGCD=14， ∵点D为AC的中点， ∴ADDG=43， ∵EG∥BD， ∴AFFE=ADDG=43， 故答案为：43． 【变式3】如图△ABC中，E、F为BC的三等分点，M为AC的中点，BM与AE、AF分别交于G、H，则BG:GH:HM= ．    【答案】5:3:2 【分析】首先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与E、F为BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MH=14BH，MG=BG，，然后根据比例的性质，即可求解． 【详解】解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，    ∵M是AC的中点， ∴MNEC=NKEF=ANAE=AMAC=12， ∵E、F为BC的三等分点， ∴BE=EF=FC， ∴MN=2NK， ∵MHBH=MKBF=14，MGBG=MNBE=1， ∴MH=14BH，MG=BG， 设MH=a，BH=4a，BG=GM=52a， ∴GH=GM−MN=32a， ∴BG：GH：HM=52a:32a:a=5:3:2． 故答案为：5:3:2． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．