第四章 图形的相似 专题06 图形的相似单元过关（基础版）(原卷版+解析版）-北师大版初中数学九上

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专题06 图形的相似单元过关（基础版） 考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）1．如图，直线a∥b∥c  ，若BC=10，AB=4，DE=6，则EF的长为（　　）    A．10B．11C．12D．15【答案】D【分析】本题主要考查平行性分线段成比例，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键．根据a∥b∥c，可得ABBC=DEEF，由此即可求解．【详解】解：∵a∥b∥c，∴ABBC=DEEF，∴EF=BC·DEAB=10×64=15，故答案为：D．2．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（    ）A．（-3，-1）B．（-2，-6）C．（2，6）或（-2，-6）D．（-1，-3）【答案】C【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，即可求出答案.【详解】由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点A(1,3)的对应点A1的坐标是A1(1×2,3×2)或(−2×1,−2×3)，即点A1的坐标是A1(2,6)或(−2,−6)故选：C.【点睛】本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键.3．已知：△ABC∽△A'B'C'，且△ABC的面积：△A'B'C'的面积=1:4，则两三角形周长比为（ ）A．1:4B．1:2C．1:16D．1:5【答案】B【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，先求出两三角形的相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1：4，∴△ABC与△A′B′C′的相似比=1：2，∴两三角形周长比为1：2．故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，求出两三角形的相似比是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（    ）A．5B．2C．4D．25【答案】D【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝(2−6)2＋(4−2)2=25，故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．5．在△ABC中，AB＝48cm，BC＝40cm，CA＝36cm，一个和它相似的三角形的最短边是12cm，那么该三角形最长边是（　　）A．48cmB．16cmC．36cmD．144cm【答案】B【分析】根据相似三角形的性质得出关于x的方程，求出方程的解即可．【详解】解：设三角形的最长边为x cm，在△ABC中，AB＝48cm，BC＝40cm，CA＝36cm，一个和它相似的三角形的最短边是12cm，∴48x=3612，解得：x＝16，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能根据相似三角形的性质得出方程是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边的比相等．6．如果a3=b4，则下列各式中不正确的是（    ）A．ab=34 B．4a=3bC．ba=43D．3a=4b【答案】D【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】解：∵a3=b4，∴4a=3b；A．∵ab=34，∴4a=3b，故该选项正确，不符合题意；B．4a=3b，故该选项正确，不符合题意；C．∵ba=43，∴4a=3b，故该选项正确，不符合题意；D．3a=4b，故该选项不正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果ab=cd，那么ac=db，反之亦然．7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（   ）A．12B．13C．14D．15【答案】B【分析】由CD是Rt△ABC斜边AB上的高，可得∠ADC=∠BDC=90°，可证△ACD∽△CBD，可得CD2=AD•BD，求出AD,再求AB．【详解】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴ADCD=CDBD，∴CD2=AD•BD，∴AD=9，∴AB=AD+BD=13．故选择：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相似三角形性质．8．如图，两条直线被三条平行线所截，DE=4，EF=5，AB=3，BC长为（    ）A．154B．6C．274D．7【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴DEEF=ABBC，∵DE=4，EF=5，AB=3，∴45=3BC，∴BC=154，故选：A．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．9．如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度．如果标杆BE高12m，测得AB=16m，BC=126m，则建筑物CD的高度是（    ）A．94.5mB．106.5mC．142mD．168m【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．【详解】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴BECD=ABAC，∵BE=12m，AB=16m，BC=126m，∴AC=AB+BC=142m，∴12CD=16142，∴CD=106.5m，故选：B．10．如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（　　）A．8B．325C．485D．10【答案】C【分析】延长CE交AD于F，连接BD，先判定△ABC∽△CAF，即可得到CF=6.4，EF=CF-CE=1.4，再依据EF为△ABD的中位线，即可得出BD=2EF=2.8，最后根据∠ADB=90°，即可运用勾股定理求得AD的长．【详解】解：如图，延长CE交AD于F，连接BD，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵∠ACB=90°，CE为中线，∴CE=AE=BE，∴∠ACF=∠BAC，又∵∠AFC=∠BCA=90°，∴△ABC∽△CAF，∴CFAC=ACBA, 即CF8=810, ∴CF=6.4，∴EF=CF-CE=1.4，由折叠可得，AC=DC，AE=DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD=2EF=2.8，∵AE=BE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°，∴Rt△ABD中， AD=AB2−BD2=102−2.82=485. 故选C．【点睛】本题考查了翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识的综合运用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用所学知识解决问题．第II卷（非选择题）11．在同一时刻，小红测得小亮的影长为0.8m，教学楼的影长为9m，已知小亮的身高为1.6m，那么教学楼的高度为 m．【答案】18【分析】教学楼的高度为ℎm，再根据同一时刻物高与影长影长成正比即可得出结论．【详解】解：设教学楼的高度为ℎm，∵小亮的影长为0.8m，教学楼的影长为9m，小亮的身高为1.6m，∴1.60.8=ℎ9，解得ℎ=18，即教学楼的高度为18m．故答案为：18．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．12．已知ab=cd=12021b+d≠0，则a+cb+d的值为 ．【答案】12021【分析】根据等比性质，可得答案．【详解】解：由等比性质，得ab=cd=a+cb+d=12021，故答案为：12021．【点睛】本题考查了比例的性质，熟知等比性质是解题关键．13．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．【答案】（4，2）或（－4，－2）【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）．故答案为：（4，2）或（-4，-2）．【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是正确作出点A的对应点E，G，点B的对应点F，H．14．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足E在BD的延长线上，F是AC的中点，连接EF，则△EFD的面积是 ． 【答案】5∶2【分析】延长AE和BC，相交于点G，根据AC=BC=2，∠C=90°得AB=22，根据BD平分∠ABC得∠ABE=∠GBE，根据AE⊥BD得∠AEB=∠GEB=90°，利用ASA 可证明△AEB≌△GEB，则AE=GE，AB=GB=22，即可得CG=22−2，根据F是AC的中点得EF是△ACG的中位线，即可得EF=12CG=2−1，EF∥BG，根据∠DBC+∠G=∠GAC+∠C=90°得∠DBC=∠GAC，利用ASA可证明△BDC≌△AGC，即可得CD=CG=22−2，根据EF∥BG得△EFD∽△BCD，可得EFBC=FDCD，进行计算得FD=3−22，即可得．【详解】解：如图所示，延长AE和BC，相交于点G，∵AC=BC=2，∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴AB=AC2+BC2=22+22=22，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠GEB=90°，在△AEB和△GEB中，∠ABE=∠GBEBE=BE∠AEB=∠GEB∴△AEB≌△GEB（ASA），∴AE=GE，AB=GB=22，∴CG=BG−BC=22−2，∵F是AC的中点，∴EF是△ACG的中位线，∴EF=12CG=2−1，EF∥BG，∵∠DBC+∠G=∠GAC+∠C=90°，∴∠DBC=∠GAC，在△BDC和△AGC中，∠DBC=∠GACBC=AC∠BCD=∠AGC∴△BDC≌△AGC（ASA），∴CD=CG=22−2，∵EF∥BG，∴△EFD∽△BCD，∴EFBC=FDCD，2−12=FD22−2∴FD=3−22，∴△EFD的面积：12×DF·EF=12×(3−22)×(2−1)=522−72，故答案为：522−72．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，DE交AC于F，若AF=60cm，则AC= cm．  【答案】180【分析】根据平行四边形的性质可得△AEF∽△CDF，再根据E是AB的中点，可得相似比，求出CF的长，最终可求AC的长．【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC，∴△AEF∽△CDF，∵E为AB的中点，∴ AEAB=12，即AEDC=12=AFCF，∵AF=60cm，∴CF=120cm，∴AC=AF+CF=180cm，故答案为：180．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形相似的运用，解题的关键在于根据中点求出相似比，进而求出线段CF的长度．16．如图，点D为ΔABC的AB边上一点，AD=2，DB=3．若ΔABC∽ΔACD，则AC的长为 ．【答案】10【分析】利用相似三角形的对应边成比例计算即可．【详解】解：∵ΔABC∽ΔACD，∴ ACAB=ADAC，即AC2+3=2AC，∴AC=10或AC=−10（不合题意，舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练运用相似三角形的对应边成比例列出比例式是解题的关键．17．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG,EF=2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．【答案】相似，△BDC与△FHG的周长比是1∶2，面积比是1∶4．【分析】根据相似三角形的性质证明BCFG=DCGH，∠G=∠C，进而证明△BDC∽△FHG，问题即可解决．【详解】解：△BDC和△FHG相似．证明如下：∵Rt△ABC∽Rt△EFG，∴ABEF=ACEG，∠G=∠C；而AC=2DC，EG=2GH，∴BCFG=DCGH，∴△BDC∽△FHG，∵EF=2AB，∴其周长比和面积比分别为1∶2和1∶4．【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．18．如图，在△ABC中，ADDB=AEEC，AB＝12，AE＝6，EC＝4，求AD的长．【答案】AD长为7.2．【分析】直接利用ADDB=AEEC和比例性质直接计算出AD的长．【详解】解：∵ADDB=AEEC，AB=12，AE=6，EC=4，∴DB=AB-AD=12-AD，∴AD12−AD=64，解得AD=7.2，故AD长为7.2．【点睛】本题考查了比例的性质，求得DB=12-AD是解题的关键．19．已知：△ABC中，∠A=36°，AB=AC，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与△ABC相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可．【详解】解：如图，直线BD即为所求．证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠BCD=36°，∴∠BCD=∠A，∵∠C=∠A，∴△ABC∼△BCD【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定．20．如图在平面坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A3,1，B1,2，C4,3．（1）将△ABC向右平移三个单位长度得到，在平面直角坐标系中做出△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到，做出△A2B2C2．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【详解】解：（1）平移后坐标为A16,1B14,2C17,3 ，如图所示，三角形△A1B1C1为求作图形；（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍则A26,2,B22,4,C28,6 如图所示，三角形△A2B2C2为求作图形．【点睛】本题考查了作图−位似变换、平移变换，解题关键是找到对应点，顺次连接得出图形．21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，求△ABC的面积．【答案】20【分析】利用相似三角形的判定和性质，先求出△ADC∽△CDB，再根据对应边成比例，可求出CD的值，故可求出面积．【详解】根据题里的已知条件，可知∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CAD＋∠CBD＝90°，所以∠ACD＝∠CBD，而∠ADC＝∠CDB＝90°，所以△ADC∽△CDB，则CDAD=BDCD，把AD＝8，DB＝2代入得，CD•CD＝AD•DB＝2×8＝16，所以CD＝4．∴△ABC的面积为12AB×CD=12×10×4=20．【点睛】此题运用了相似三角形的判定和性质，两个角对应相等，则两三角形相似．22．如图，已知直线a//b//c，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，AC=4,CE=6,BD=3，求BF的长．【答案】BF=7.5．【分析】由直线a//b//c，根据平行线分线段成比例定理，即可得ACCE=BDDF，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】解：∵a//b//c，∴ ACCE=BDDF，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴ 46=3DF，解得：DF=92，∴BF=BD+DF=3+92=152．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．（1）求证：△CDE∽△FAE；（2）当E是AD的中点且BC＝2CD时，直接写出图中所有与∠F相等的角．【答案】（1）见解析；（2）图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由见解析【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形就可以证明△CDE∽△FAE；（2）根据（1）和E是AD的中点可以得到△CDE≌△FAE，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DCE＝∠F，∠CDE＝∠FAE，∴△CDE∽△FAE；（2）解：图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由如下：由（1）得：∠DCE＝∠F，∵△CDE∽△FAE，DE＝EA，∴△CDE≌△FAE，∴CD＝AF，∴BF＝2CD，∵BC＝2CD，AD＝BC＝2AE＝2DE，∴BF＝BC，AF＝AE，CD＝DE，∴∠F＝∠BCF，∠AEF＝∠F，∠DEC＝∠DCE．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．24．如图，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AD=2DG,AB=2DE，AD=DE，连接AG,CE交于点H，(1)求AGCE的值；(2)求∠AHE的度数．【答案】(1)12(2)90°【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC，即可求解；（2）根据△GDA∽△EDC，，可得∠ECD=∠GAD，由∠CMD=∠AMH，可得∠AHM=∠CDM=90°，进而可以解决问题．【详解】（1）解：如图，设CE与AD交于点M，∵在矩形ABCD和矩形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE∴∠ADG=∠CDE，∵AD=2DG,AB=2DE，AD=DE，∴DGAD=12，DECD=DEAB=12，∴DGAD=DECD=12，∴△GDA∽△EDC，∴ADCD=AGCE=12；（2）解：∵△GDA∽△EDC，∴∠ECD=∠GAD，∴∠CMD=∠AMH，∴∠AHM=∠CDM=90°，∴AG⊥CE，∴∠AHE=90°．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，两个角互余的三角形是直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键．25．如图，已知△ABC中，AB=AC，P是边BC上一点，以AP为边作△APD（C，D在AP同侧），使PA=PD，∠APD=∠BAC，连接CD．(1)如图1，若D在BC上方且∠BAC=60°，求∠ACD度数；(2)如图2．若D在BC上方且∠BAC=90°，判断CD与AC的位置关系，并说明理由；(3)如图3，若∠BAC=120°，BC=m，AB=AC=n，则BD的最小值为（直接写出结果）．【答案】(1)60°(2)CD⊥AC，理由见解析(3)BD的最小值为12m【分析】（1）作PH∥AC交AB于H，根据全等三角形的判定和性质得出△APH≌△PDC(SAS)，即可解决问题；（2）作AH⊥BC于H，在HA上截取HF，使得HF=HP，利用全等三角形的判定和性质得出△APF≌△PDC(SAS)，∠ACD=90°，即可得出结果；（3）连接CD，作BH⊥CD交CD的延长线于H，由相似三角形的判定和性质得出△AOC∽△POD，△AOP∽△COD，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：如图所示，作PH∥AC交AB于H，∵AB=AC，PA=PD，∠APD=∠BAC=60°，∴△ABC，△PAD都是等边三角形，∴BA=BC，∠BAC=∠ACB=∠B=60°，∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠PAH∴∠DPC=∠PAB，∵PH∥AC，∴∠PHB=∠BAC=60°，∠BPH=∠ACB=60°，∴∠BHP=∠BPH=60°，∴BH=BP，∵BA=BC，∴AH=PC，∵PA=PD，∴△APH≌△PDC(SAS)，∴∠AHP=∠PCD，∵∠AHP=180°–∠PHB=180°−60°=120°∴∠PCD=120°，∴∠ACD=∠PCD–∠ACB=120°−60°=60°；（2）如图，结论：CD⊥AC，理由：作AH⊥BC于H，在HA上截取HF，使得HF=HP，∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，∴HA=HC，∠HAC=∠HCA=45°，∠AHC=90°∵HF=HP，∴∠HFP=∠HPF=45°，AF=PC，∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠AHP+∠PAF∴∠PAF=∠DPC，∵PA=PD，∴△APF≌△PDC(SAS)，∴∠AFP=∠PCD，∵∠AHP=180°–∠PFH=180°−45°=135°∴∠PCD=135°，∴∠ACD=∠PCD–∠ACB=135°−45°=90°∴CD⊥AC；（3）如图所示，连接CD，作BH⊥CD交CD的延长线于H，∵AB=AC，PA=PD，∠BAC=∠APD=120°，∴∠ACO=∠PDO=∠PAD=30°∵∠AOC=∠POD，∴△AOC∽△POD，∴OAOP=OCOD，∴OAOP=OPOD，∵∠AOP=∠COD，∴△AOP∽△COD，∴∠OAP=∠OCD=30°∴点D的运动轨迹是直线CD（与BC的夹角为30°，如图所示），∵BH⊥CD，∴BH=12BC=12m，根据垂线段最短可知，BD的最小值为12m．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题