北师大版（2024）九年级上册相似三角形的性质优秀同步测试题

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知识一遍过
（一）相似三角形的性质
考点一遍过
考点1：相似三角形的性质——求线段
典例1：如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CE的长是（ ）
A．76565B．72C．146565D．286565
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出DB的长度，由AB∥DC，易证△DAB∽△CED，最后列出比例式求解即可．
【详解】由勾股定理得DB=AD2+AB2=722+22=652，
∵ AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°
∴ ∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，
∴ △DAB∽△CED，
∴ CEAD=CDDB，
∴ CE72=4652，
解得CE=286565，
故选：D．
【变式1】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC:S四边形BDEC=1:3，BC=3，则DE的长为（ ）
A．5B．6C．32D．4
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵S△ABC:S四边形BDEC=1:3，
∴S△ABC:S△ADE=1:4，
∵△ABC∽△ADE，
∴S△ABCS△ADE=BCDE2，
∵BC=3，
∴3DE2=14，
∴DE=6，
故选：B．
【变式2】如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，在△BCD中，∠BDC=90°，且AC=5，BC=4，则BD= 时，图中的两个直角三角形相似．
【答案】125或165
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
先利用勾股定理计算出BC=3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，①当Rt△DBC∽Rt△BAC时，②当Rt△DBC∽Rt△BCA时，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可．
【详解】解：，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=4，
∴AB=AC2−BC2=3，
∵∠ABC=∠BDC=90°
∴①当Rt△DBC∽Rt△BAC时，
BDAB=BCAC，即BD3=45，
∴BD=125；
②当Rt△DBC∽Rt△BCA时，
BDBC=BCCA，即BD4=45，
∴BD=165，
故答案为：125或165．
【变式3】如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= ．
【答案】1或4或2.5
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【详解】解：①当△APD∽△PBC时，
ADPC=PDBC，
即25−PD=PD2，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时，
ADBC=PDPC，
即22=PD5−PD，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案为：1或4或2.5．
考点2：相似三角形的性质——求角度
典例2：如图，已知△ABC∽△A′BC′．若∠A′DB=82°，∠C=32°，则∠ABA′的度数为（ ）
A．32°B．41°C．40°D．50°
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
由相似可得∠ABC=∠A′BC′,∠C=∠C′，利用三角形的外角性质可求得∠DBC′，从而可求∠ABA′的度数．
【详解】解：∵△ABC∽△A′BC′，
∴∠ABC=∠A′BC′,∠C=∠C′,
∵∠A′DB=82°,∠C=32°,
∴∠C′=32°,∠BDC′=98°,
∴∠DBC'=180°−32°−98°=50°,
∵∠ABA′+∠A′BD=∠DBC′+∠A′BD,
∴∠ABA'=∠DBC'=50°，
故选：D．
【变式1】如图，已知△ABC∽△DAC，∠B=37°，∠D=116°，则∠BAD的度数为（ ）
A．37°B．116°C．153°D．143°
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，由△ABC∽△DAC，得出∠BAC=∠D=116°，∠DAC=∠B=37°，再由∠BAD=∠BAC+∠DAC进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠BAC=∠D=116°，∠DAC=∠B=37°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=116°+37°=153°，
故选：C．
【变式2】如图，四边形ABCD，四边形CDEF，四边形EFGH是三个相连的正方形，连接AC，AF,AG．若∠BGA=20°，则∠BFA的度数为 ．
【答案】25°/25度
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”是解题的关键．首先求出线段AC、AF、AG的长度(用λ表示)，求出两个三角形对应边的比，进而证明△ACF∽△GCA，得出∠BGA=∠CAF=20°，问题即可解决．
【详解】解：设小正方形的边长为λ，
由勾股定理得：
AC2=λ2+λ2=2λ2，
∴AC=2λ，
而CF=λ,CG=2λ,
同理可证：AF=5λ，AG=10λ，
∵2λ2λ=λ2λ=5λ10λ，
即ACCG=CFAC=AFAG，
∴△ACF∽△GCA，
∴∠BGA=∠CAF=20°，
∵∠ACB=∠CAF+∠BFA=45°，
∴∠BFA=45°−20°=25°．
故答案为：25°．
【变式3】如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB= °．

【答案】135
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CPD=90°，∠PCD=∠PDC=45°，再由三角形外角的性质得到∠A+∠APC=45°，根据相似三角形的性质得到∠BPD=∠A，则∠APB=∠APC+∠CPD+∠A=135°．
【详解】解：∵△PCD是等腰直角三角形，且CD为底边，
∴∠CPD=90°，∠PCD=∠PDC=45°，
∴∠A+∠APC=∠PCD=45°，
∵△PDB∽△ACP，
∴∠BPD=∠A，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=∠APC+∠CPD+∠A=45°+90°=135°，
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等等，熟知相似三角形对应角相等是解题的关键．
考点3：相似三角形的性质——证明比例关系
典例3：如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）

A．ABAC=BCCDB．ACAD=ABACC．AC2=AD⋅ABD．ABBC=ACAD
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出ABAC=BCCD=ACAD，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△ACD
∴ABAC=BCCD=ACAD
∴AC2=AD⋅AB，故A，B，C正确,D错误
故选：D．
【变式1】如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是( )
A．AB2=AC⋅ADB．AB2=AC⋅BD
C．AB⋅AD=BC⋅BDD．AB⋅AD=AD⋅CD
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△ADB，
∴ABAD=ACAB，
∴AB2=AC•AD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．
【变式2】如图，在ΔABC中，若DE∥BC，ADAB=12，DE=4cm，则BC的长为 cm.

【答案】8
【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=12
即4BC=12
∴BC=8（cm）
故答案是：8
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．
【变式3】如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,BC=4，点D在AC边上，且AD=2DC，点E是AB边上的点，当ADAC=DEBC时，AE的长为 ．
【答案】163或83
【分析】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，求得ADAC=DEBC=23是解题的关键．
分两种情况讨论，当△AED∽△ABC，得ADAC=DEBC=23，则DE=23BC=83，由∠ADE=∠C=90°，∠AED=∠B=60°，求得∠A=30°，则AE=2DE=163；二是DE′与BC不平行，且DE′=DE时，则ADAC=DEBC=DE′BC，可证明△DEE′是等边三角形，则EE′=DE=83，可求得AE′=AE−EE′=83，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵AD=2DC，BC=4，
∴AC=2DC+DC=3DC，
当△AED∽△ABC时，
∴ ADAC=DEBC=23，
∴DE=23BC=23×4=83，
∵∠ADE=∠C=90°，∠AED=∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AE=2DE=2×83=163；
当DE′与BC不平行时，且DE′=DE时，则ADAC=DEBC=DE′BC，
∵∠E′ED=60°，
∴△DEE′是等边三角形，
∴EE′=DE=83，
∴AE′=AE−EE′=163−83=83，
故答案为：163或83．
考点4：相似三角形的性质——求周长
典例4：如图，△AOB∽COD，OA:OC=9:7，∠A=x°，∠C=y°，△AOB与△COD的面积分别是S1和S2，△AOB与△COD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（ ）

A．BO=9CDB．7x=9y
C．7S1=9S2D．7C1=9C2
【答案】D
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答．
【详解】解：A、∵△AOB∽△COD，
∴OB:OD=OA:OC=9:7，
∴7OB=9OD，本选项错误；
B、∵△AOB∽△COD，
∴∠A=∠C，
∴x=y，本选项错误；
C、∵△AOB∽△COD，
∴ S1S2=(97)2，
∴49S1=81S2，本选项错误；
D、∵△AOB∽△COD，
∴ C1C2=97，
∴7C1=9C2，本选项正确；
故选：D．
【点睛】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答．
【变式1】如图，△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．C1C2=32B．S1S2=32C．OBCD=32D．OAOD=32
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，
∴C1C2=32，故A正确；
∴S1S2=94，故B错误；
∴OBOD=32，故C错误；
∴OAOC=32，故D错误；
故选：A．
【变式2】如图，∠CDE=∠B，△ABC与△EDC的周长之比是5:3，那么点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是 ．
【答案】5:3
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△EDC，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵ ∠CDE=∠B，∠C=∠C，
∴ △ABC∽△EDC，
∵ △ABC与△EDC的周长之比是5:3，
∴点A到BC的距离与点E到DC的距离之比是5:3，
故答案为：5:3．
【变式3】如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ．
【答案】2
【分析】如图，过A作AN//BC交EF于N，设BE=a,AF=b, 由三角形的周长关系可得：a+b=5,再证明：△ANM∽△DEM,利用相似三角形的性质求解AN=8−a,再证明：△ANF∽△CEF,可得：10b+4a−ab=32,再解方程组可得答案．
【详解】解：如图，过A作AN//BC交EF于N，
设BE=a,AF=b,
∴AB+BE+AF=12AB+BC+AC,
∴10+a+b=1210+12+8=15,
∴a+b=5,
∵BD:CD=2:1，BC=12，
∴BD=8，CD=4，
∴DE=8−a,
∵M为AD的中点，
∴AM=MD,
∵AN//BC，
∴△ANM∽△DEM,
∴ANDE=AMDM=1，
∴AN=8−a,
∵AN//BC，
∴△ANF∽△CEF,
∴ANCE=AFCF, 即：8−a8−a+4=b8−b,
∴ 10b+4a−ab=32,
∴a+b=510b+4a−ab=32
解得：a=2b=3或a=9b=−4，
经检验：a=9b=−4不合题意，舍去，
∴BE=2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
考点5：相似三角形的性质——求面积
典例5：如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．4:9B．9:4C．2:3D．3:2
【答案】A
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3
∴其相似比为2:3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4:9．
故选：A．
【变式1】△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC=6．下面四个结论：①DE=3；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1:4，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为1:2，选出正确的结论即可．
【详解】解：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如图，
∴DE∥BC，DE=12BC=3，
∴△ADE∽△ABC，故①②正确；
∵△ADE∽△ABC，DEBC=12，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4，故③正确；
∴△ADE的周长与△ABC的周长之比为1:2，故④错误．
故选：C．
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF:AF=2:5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 ．

【答案】31
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到DE∥AB，得到△DEF∽△BAF，结合EF:AF=2:5得到ℎ△DEFℎ△BAF=25，即可得到ℎ四边形ABCD，结合△DEF的面积是4即可得到四边形的面积，即可得到S△DBC，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∵EF:AF=2:5，
∴ℎ△DEFℎ△BAF=25，DEAB=25，
设高的公比为k，底的公比为m，
∴ℎ四边形ABCD=7k，ℎ△DEF=2k，DE=2m，AB=5m，
∵△DEF的面积是4，
∴12×2m×2k=4，
∴S△DBC=12CD⋅ℎABCD=12×5m×7k=35，
∴四边形BCEF的面积是：35−4=31，
故答案为：31．
【点睛】本题考查相似三角形的的性质：相似三角形形对应边之比，对应高之比等于相似比．
【变式3】如图，在边长为1的网格中，点A，C，D都为格点，线段AE经过点C．以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D交AB所在格线于点F，则阴影部分的面积是 ．
【答案】5π4−522
【分析】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据网格构造直角三角形求出扇形的半径．连接AD，过点E作EG⊥AF于点G，在Rt△ABD中，根据勾股定理求出半径，再根据相似三角形的性质求出EG，最后根据S阴=S扇AEF−S△AEF，即可求解．
【详解】解：连接AD，过点E作EG⊥AF于点G，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2+BD2=32+12=10，
∴扇形的半径为10，
根据题意得：AC=12+12=2，
由图像可知∠EAF=45°，∠AHC=∠AGE=90°，
∴ △AHC∽△AGE，
∴ ACAE=CHEG，即210=1EG，
∴ EG=5，
∴ S阴=S扇AEF−S△AEF
=45°×102π360°−12AF·EG
=45°×102π360°−12×10×5
=5π4−522，
故答案为：5π4−522．
考点6：相似三角形的性质——坐标系问题
典例6：如图，点A、B、C、D的坐标分别是1,0、5,0、3,2、4,1，如果以点C、D、E为顶点的直角三角形与△ABC相似，则E点的坐标可能是下列的（ ）
①2,1 ②3,1 ③4,2 ④5,2

A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【详解】解：在△ABC中，AB=4，BC=AC=22，则△ABC是等腰直角三角形，
∵∠ACB=90°，
①、当点E的坐标为(2,1)时，∠DCE=90°，CE=CD=2，则△DCE∽△BCA，故符合题意；
②、当点E的坐标为(3,1)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；
③、当点E的坐标为(4,2)时，∠CED=90°，CE=DE=1，则△CED∽△ACB，故符合题意；
④、当点E的坐标为(5,2)时，∠CDE=90°，CD=DE=2，则△CDE∽△ACB，故符合题意；
故选：D．

【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴E′O′AC=BO′BC，
∴26=BO′9，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为0,6、8,0，连接AB．动点P从点A开始在折线段AOB上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当△APQ与△AOB相似时，点P的坐标是 ．
【答案】P0,3611或P0,2813
【分析】由题意易得AP=t,AQ=10−2t，然后可分情况进行讨论：①当∠APQ=∠AOB时，有△APQ∽△AOB；②当∠AQP=∠AOB时，有△APQ∽△ABO；进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为0,6、8,0，
∴OA=6,OB=8，AB=0−82+6−02=10，
∴AP=t,AQ=10−2t，
当△APQ与△AOB相似时，则可分：
①当∠APQ=∠AOB时，有△APQ∽△AOB，如图所示：
∴APAO=AQAB，即t6=10−2t10，
解得：t=3011，
∴AP=3011，
∴OP=AO−AP=3611，
∴P0,3611；
②当∠AQP=∠AOB时，有△APQ∽△ABO，如图所示：
∴APAB=AQAO，即t10=10−2t6，
解得：t=5013，
∴AP=5013，
∴OP=AO−AP=2813，
∴P0,2813；
综上所述：当△APQ与△AOB相似时，P0,3611或P0,2813；
故答案为P0,3611或P0,2813．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【变式3】如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB与y轴交于点D，已知点A1,4，C3,0，D0,3，M是线段BC上一点，连接DM，若△ODM与△CAD相似，则CM的长为 ．
【答案】2或4
【分析】△ODM是一个直角三角形，若△ODM与△CAD相似，必须证明△CAD是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标．
【详解】如图，
∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，
∴AD2=12+12=2 ，AC2=42+22=20，CD2=OD2+OC2=32+32=18，
AC2=AD2+CD2 ；
∴△CAD是直角三角形
∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），
△ODM∽△CAD
∴ADCD=OMOD=218=|x|3
∴|x|=1
∴|x|=±1
当x=1时，CM=2；当x=-1时CM=4，
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键．
考点7：网格中的相似三角形
典例7：小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在7×7的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.

(1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转90°的三角形；
(2)在图2中画出以BC为边的三角形，且与△ABC相似（不全等）.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可作出点A和B的对应点D和E，使CD=CA，CE=CB，∠DCA=∠ECB=90°，所得△CDE即为△ABC绕点C顺时针旋转90°的三角形；
（2）根据相似三角形性质取点F，使∠CBF=∠ABC=135°，BFBC=BCAB=2，连接BF，CF，所得△CBF∽△ABC．
【详解】（1）如图，取格点D，E，使CD=CA，CE=CB，∠DCA=∠ECB=90°，
连接CD，CE，DE，
△CDE即为所求作；
（2）如图，取格点F，使∠CBF=∠ABC=135°，BF=2BC，
连接BF，CF，
△CBF即为所求作．
【变式1】如图，在8×8的方格纸中，已知格点△ABC与格点P，请按要求画与△ABC相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等．
(1)在图1中画△PMN，使点M，N均落在△ABC的边上．
(2)在图2中画△DEF，使点P在△DEF的内部（不包括边上），且△DEF与△ABC组成一幅轴对称的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作相似图形和轴对称图形，熟练掌握相似的性质和轴对称的性质是解此题的关键．
（1）利用相似图形的定义确定对应点的位置即可；
（2）利用相似图形的定义和轴对称图形的定义确定对应点的位置即可．
【详解】（1）如图：
△PMN即为所求；
（2）如图：
△DEF即为所求．
【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．

(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
(2)P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△P3P4E相似（要求写出所有符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）．
【答案】(1)相似，理由见解析
(2)△P3P4E∽△P1P3P5；△P3P4E∽△P1P5P2；△P3P4E∽△P4P5P3
【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，理解题意，根据勾股定理计算边的长度，并理解“三边对应成比例，两三角形相似”是关键．
（1）先利用勾股定理计算出两个三角形的所有边长，通过计算对应边的比得到ACDF=ABDE=BCEF，再根据相似三角形的判定方法即可得到△ABC∽△DEF；
（2）求以D，P1，P5为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边是否成比例，便可判定是否符合．按这种方法一一计算判定可得结论．
【详解】（1）解：△ABC∽△DEF，
理由：根据题意，得AC=12+22=5，AB=22+42=25，BC=32+42=5，
DF=22+22=22，DE=42+42=42，EF=22+62=210，
∴ACDF=ABDE=BCEF=104，
∴△ABC∽△DEF；
（2）解：根据题意，得EP3=12+12=2，EP4=12+32=10，P3P4=2，
P1P5=2，P1P3=22+22=22，P5P3=22+42=25，
∴P3EP1P5=P3P4P1P3=P4EP3P5=22，
∴△P3P4E∽△P1P3P5；
同理，△P3P4E∽△P1P5P2；△P3P4E∽△P4P5P3；
如图，
．
【变式3】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中，PDPA=______；（填两数字之比）
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段AB上找一点P，使APBP=32；
②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
【答案】(1)13
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明△ABP∽△DCP，即可求得PDPA=CDAB=13；
（2）①如图，取格点E、F，连接EF交AB于点P，利用相似三角形的判定和性质即可得解；
②如图，取格点T，连接DT交AB于点P，利用相似三角形的判定即可得解．
【详解】（1）解：∵AB=3，CD=1，且AB∥CD，
∴△ABP∽△DCP，
∴PDPA=CDAB=13，
故答案为：13；
（2）解：①点P如图所示，
；
②点P如图所示，
．
考点8：相似三角形的性质与判定综合
典例8：如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ交AD于H点．
(1)当点P恰好为AB中点时，PQ=______mm．
(2)若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度．
【答案】(1)60
(2)20mm
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比；
（1）由△APQ∽△ABC，得到PQBC=APAB=12，代入即可求解，
（2）根据PQ∥BC，得到△APQ∽△ABC，得到对应高之比等于相似比，AHAD=PQBC，从而得到PN的长，
【详解】（1）解：∵P为AB中点，
∴APAB=12，
∵在矩形PQMN中，PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ABC，∠AQP=∠ACB，
∴△APQ∽△ABC，
∴PQBC=APAB=12，
∴PQ=12BC=60 mm．
故答案为：60．
（2）解：∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∴PN=DH
∴AH=AD−DH=80−PN．
∴四边形PNMQ为矩形，
∴PQ=MN，DH=PN，
∵矩形PNMQ的周长为220mm
∴PQ=110−PN，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴AHAD=PQBC，
∴80−PN80=110−PN120，
∴PN=20mm．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，点B关于直线CD的对称点为E，F为AD边上一动点，EF交CD于点G，CF交BG于点H．
(1)当点F为AD中点时，求证：CG=2DG；
(2)当CF=BG时，求证：DF2=DG⋅DC．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形判定与性质是解题的关键．
（1）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）先证明Rt△BCG≌Rt△CDFHL，再根据性质得出∠CBG=∠DCF，由轴对称的性质可得∠CBG=∠E，可证△FDG∽△CDF，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点B关于直线的CD对称点为E，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵F为AD中点，
∴DF=12AD=12CE，
∵AD∥BC，
∴△FDG∽△ECG，
∴DGCG=DFCE，
∴DGCG=12，
∴CG=2DG；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD ∠BCG=∠CDF=90°，AD∥BC，
在Rt△BCG和Rt△CDF中，
BC=CDBG=CF
∴Rt△BCG≌Rt△CDFHL，
∴∠CBG=∠DCF，
∵点B关于直线的CD对称点为E，
∴BC=CE，
∴∠CBG=∠E，
∵AD∥BC，
∴∠DFG=∠E，
∴∠DFG=∠DCF，
∴△FDG∽△CDF，
∴DFDG=DGDF，即DF2=DG⋅DC．
【变式2】如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC , BC边上各取一点E,F，连接AF , BE相交于点P，且AE=CF．
(1)求证：AF=BE，并求∠FPB的度数；
(2)若AE=2，试求AP⋅AF的值．
【答案】(1)∠FPB=60°
(2)AP⋅AF=12
【分析】（1）依据等边三角形的性质得到AB=AC，∠C=∠CAB，然后由△ABE≌△CAF，依据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAF，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可；
（2）先证明△APE∽△ACF，依据相似三角形的性质得到APAC=AEAF，从而可得到问题的答案，
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC , ∠C=∠CAB=60°，
在△ABE和△CAF中，AB=AC∠C=∠CABAE=CF，
∴△ABE≌△CAFSAS，
∴AF=BE , ∠ABE=∠CAF.
又∵∠FPB=∠ABP+∠BAP，
∴∠FPB=∠BAP+∠CAF=60°，
（2）解：∵∠C=∠APE=60° , ∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴APAC=AEAF，即AP6=2AF，
∴AP⋅AF=12．
【变式3】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=22，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=12AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．
(1)[问题发现]①当θ=0°时，BECD=_____；②当θ=180°时，BECD=____；
(2)[拓展研究]试判断：当0°≤θ