初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形图文课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形图文课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，等腰三角形的性质，由角平分线得到高线，等边对等角，由角平分线得到中线等内容，欢迎下载使用。
等腰三角形的性质等腰三角形的判定
特别提醒1. 适用条件：必须在同一个三角形中.2.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
特别解读1. 适用条件：(1)必须是等腰三角形；(2) 必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.2. 作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.3.知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”.
拓展延伸：等腰三角形的其他性质(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；(2)等腰三角形两底角的平分线相等；(3)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等；(4)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；(5)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°.
如图15.3-1，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ ADB 的度数；
解：∵ AB=AC，AD 平分 ∠ BAC，∴ AD ⊥ BC.∴∠ ADB=90°.
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
(2)若∠ BAC=100 °，求∠ B，∠C 的度数；
(3)若BC=3 cm，求BD 的长.
1-1.[中考·兰州] 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )A.100° B.115°C.130° D.14 5°
1-2.[期中·天津和平区]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥ BC于点D. 若AB＝6，CD＝4， 则△ABC的周长是( )A.10 D.20
[中考·北京] 如图15.3-2，在△ ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥ AC 于点E.求证：∠ CBE= ∠ BAD．
解题秘方：根据等腰三角形“三线合一”的性质和同角的余角相等解决问题.
证明：∵ AB=AC，AD 是BC 边上的中线，∴ AD ⊥ BC，∠ BAD= ∠ CAD.又∵ BE ⊥ AC，∴∠ BEC= ∠ ADC=90°.∴∠ CBE=90°－∠ C，∠ CAD=90 °－∠C.∴∠ CBE= ∠ CAD. ∴∠ CBE= ∠ BAD．
2-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠ C=2 ∠ D．
证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD.∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
如图15.3-3，在△ ABC中，AB=AC，D，E 是BC 边上的点，且BD=CE．求证：AD=AE．
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△ ABD 和△ ACE 全等创造条件，或者作出底边BC上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质证明其垂直平分DE.
证法一：∵ AB=AC，∴∠ B= ∠ C.在△ ABD 和△ ACE 中，∴△ ABD ≌△ ACE(SAS). ∴ AD=AE．
AB=AC，∠ B= ∠ C，BD=CE，
证法二：如图15.3 - 3，过点A 作AF⊥BC 于点F.∵ AB=AC，AF⊥BC，∴ BF=CF. ∵ BD=CE，∴ DF=EF.即AF 垂直平分DE，∴ AD=AE．
3-1. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC=90 °，E 为边BC 上的点，且AB=AE，D 为线段BE 的中点，过点E作EF⊥ AE，过点A 作AF ∥ BC， 且AF，EF相交于点F. 求证：
(1)∠C=∠BAD；
证明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形．又∵ D为线段BE的中点，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∴∠C＝∠BAD.
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∴∠EAF＝∠ABC.又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，AB＝AE，∴△BAC≌△AEF(ASA)．∴AC＝EF.
如图15.3-4，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别在AC，AB 边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠ A 的度数.
解题策略：利用等腰三角形的性质求角度，若没有已知角度，常通过设未知数，利用“等边对等角”、三角形外角的性质表示相关角，再利用三角形内角和定理构造方程求解.
4 -1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，求∠A的度数.
1. 等腰三角形的判定方法
辨析：等腰三角形的判定与性质的区别
特别提醒1.等腰三角形的定义也是一种判定方法.2. “等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.
2. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h(如图15.3 -5).求作这个等腰三角形.
作法：如图15.3 -6所示.(1)作线段AB=a；(2)作线段AB 的垂直平分线MN，交AB 于点D；(3)在MN 上取一点C，使DC=h；(4)连接AC，BC，则△ ABC 就是求作的等腰三角形．
特别解读解决复杂作图题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.
如图15.3-7， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可.
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，∴∠ AED= ∠ CFD=90°.∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.在Rt △ ADE 和Rt △ CDF 中，∴ Rt △ ADE ≌ Rt △ CDF(HL). ∴∠ A= ∠ C.∴ BA=BC，即△ ABC 是等腰三角形．
AD=DC，DE=DF，
5-1.[ 中考·自贡]如图，在△ ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
(1)求证：∠BDF＝∠A；(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状.
证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED.∴DF∥AC. ∴∠BDF＝∠A.
解：△ABC是等腰直角三角形．
尺规作图：已知线段a(如图15.3-8)，画一个底边长为a，底边上的高也为a 的等腰三角形.
解：(1)作线段BC=a；(2)作线段BC 的垂直平分线MN，与BC 相交于点D；(3)在MN 上取一点A，使DA=a；(4)连接AB，AC，则△ ABC 就是所求作的等腰三角形.如图15.3 -9所示.
6-1.[中考·陕西]如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，△ABC是所求作的等腰直角三角形．(作法不唯一)