专题2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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\l "_Tc23132" 【题型1 不等关系的建立】 PAGEREF _Tc23132 \h 1
\l "_Tc17094" 【题型2 利用作差法比较大小】 PAGEREF _Tc17094 \h 3
\l "_Tc17959" 【题型3 利用作商法比较大小】 PAGEREF _Tc17959 \h 4
\l "_Tc23636" 【题型4 利用作差法比较大小的应用】 PAGEREF _Tc23636 \h 5
\l "_Tc30284" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc30284 \h 8
\l "_Tc6810" 【题型6 利用不等式的性质证明不等式】 PAGEREF _Tc6810 \h 10
\l "_Tc32767" 【题型7 利用不等式的性质求取值范围】 PAGEREF _Tc32767 \h 12
【知识点1 不等关系】
1．不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【题型1 不等关系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“xa”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【解题思路】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案.
【解答过程】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为x≤2000，A错误；
对于B，变量y不超过a可表示为y≤a，B正确；
对于C，变量x至少为a可表示为x≥a，C错误；
对于D，小明身高xcm，小华身高ycm，小明比小华矮表示为x800B．n>5000C．n0，a＝b⇔a－b＝0，a0，M＝a+b，N＝a+b，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>NB．Mx>x2
【解题思路】利用作差法判断即可.
【解答过程】因为00，所以1x>x，
又x−x2=x1−x>0，所以x>x2，
所以1x>x>x2.
故选：D.
【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)，那么P与Q的大小关系是（ ）
A．P>QB．P≥Q
C．P0，
∴P>Q．
故选：A.
【题型3 利用作商法比较大小】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【解题思路】应用作商法比较xy,1的大小关系即可.
【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又xy=c+1−cc−c−1=c+c−1c+1+cqB．p0，
q=a2−a+1=a−122+34>0，
则qp=a2−a+1a2+a+1−1=a2−a+1a2+a+1
=a2+12−a2=a22+a2+1≥1.
故p≤q，当且仅当a=0时，取等号，
故选：D.
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若00，即a+mb+m>ab.
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为cd，且abc>0).
证明：∵abc，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a0时，a|a|−b|b|=a2−b2=a−ba+b>0；
当a>0>b时，a|a|−b|b|=a2+b2>0，
当0>a>b时，a|a|−b|b|=−a2+b2=b−aa+b>0，
综上a|a|>b|b|，故C正确；
D选项，ba−b−ca−c=ab−ca−ba−c>0，故D错误.
故选：C.
【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，cbd
C．若a>b，c>d，则a−c>b−dD．若ab>0，a>b，则1ab，则1a−1b=b−aabf，c>0，求证f−acb>0,cbc，∴−acf，即f