第06讲 等式性质与不等式性质-【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
不等关系
1．不等式的概念
用数学符号“≠”“>”“75000B．30x+560>75000
C．30x+560≥75000D．30x+560≥75000
【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为x+560件，即可求出结果.
【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为x+560件，则该工厂30天加工的商品数为30x+560件，
所以题中关系表示为30x+560>75000.
故选：B.
【变式1.2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，B型货车载重量24吨，设派出A型货车x辆，B型货车y辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）
A．5x+4y100D．5x+4y≤100
【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，30x+24y≥600，
所以有5x+4y≥100.
故选：B.
【变式1.3】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y，则用不等式组表示为（ ）
A．170≤x+y≤190xy
C．1700，a＝b⇔a-b＝0，ab，则a−c>b−d，充分性成立；
由a−c>b−d，则a−b>c−d，且a>b，无法确定c−d的符号，必要性不成立，
所以“cb−d”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2.1】（24-25高一上·河南许昌·期末）已知a，b是实数，则“a>b”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a>bB．a2>b2C．|a|>|b|D．a3>b3
【解题思路】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断.
【解答过程】对于A，由a>b，得a>b，而a>b不能推出a>b，A是；
对于BC，取a=−2,b=1，满足a2>b2，|a|>|b|，而ab3⇔a>b，D不是.
故选：A.
【变式2.2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）下列命题中真命题的是（ ）
A．若a>b>0，则a2>b2B．若abc2D．若a>b>0，则ba>b+2a+2.
【解题思路】利用不等式性质即可判断AB，举例c=0即可判断C，作差法即可判断D.
【解答过程】对于A：由a>b>0，所以a>b>0，所以a2>b2，故A正确；
对于B：因为a0，所以a×1ab0，则a−b>0,aa+2>0，
所以b+2a+2−ba>0，即baxzD．xy>zy
【解题思路】首先确定x,y,z的正负情况，再根据不等式的性质，即可判断.
【解答过程】因为x0，所以51−λ2λ>0，即m1+m2>10，
所以这样可知称出的黄金质量大于10g.
故选：A.
【变式5.2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为m克m>0，第二种是每次购买黄金定额为n万元n>0；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？
【解题思路】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论.
【解答过程】设两次黄金的单价分别为x，y（x>0，y>0，x≠y）.
第一种购买方式，黄金的平均单价为：mx+my2m=x+y2；
第二种购买方式，黄金的平均单价为：2nnx+ny=2xyx+y.
由x+y2−2xyx+y=x+y2−4xy2x+y=x−y22x+y，因为x>0，y>0，x≠y，
所以x−y22x+y>0，即第二种购买方式，黄金的平均单价较低.
故第二种购买方式更有利于控制投资成本.
【变式5.3】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
【解题思路】（1）设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可得.
（2）记窗户面积为a平方米、地板面积为b平方米，同时减少的面积为c平方米，表示出减少面积前后的比值作差比较即可作出判断.
【解答过程】（1）设该公寓窗户面积为xx>0平方米，则地板面积为165−x平方米，
依题意，x165−x≥10%xb，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒；
②a0，00>c>d，则ca−db>0
C．若a−c>0，所以−ad>−bc>0，即得bc>ad，又因为ab>0，
则ca−db=bc−adab>0，所以B正确，
对于C，若a=1,b=2,c=−2,d=−1，满足a0，则下列各式一定成立的是（ ）
A．1b3>1a3B．1a>1b
C．ac0，故a3>b3>0，进而可得1b3>1a3，A正确，
对于B，由于a>b>0，故0bc，故C错误，
对于D，b+ma+m−ba=ab+m−ba+maa+m=ma−baa+m，由于a>b>0，故a−b>0，
但由于m的值不确定，无法确定m,a+m的符号，故D错误，
故选：A.
【变式6.2】（23-24高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（ ）
A．若a>b,c>d，则ac>bd
B．若a>b，则ac2≥bc2
C．若a>b>0,m>0，则mabc2，则a>b
【解题思路】利用反例判断A选项，BCD均可以通过不等式的性质以及作差法进行判断.
【解答过程】对于A，令a=1,b=−1,c=1,d=−1，满足a>b,c>d，但ac=bd，故A错误；
对于B，因为a>b,c2≥0，所以，ac2≥bc2，故B正确；
对于C，ma−mb=m(b−a)ab0，则a>b，故D正确；
故选：A.
【变式6.3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设a、b、c、d为实数，下列命题中成立的是（ ）
A．如果a>b，那么a>bB．如果ab>ac，那么b>c
C．如果a>b，c>d，那么a−c>b−dD．如果a>b，1c>1d，那么ac>bd
【解题思路】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假.
【解答过程】对于A，若a>b，则a>b≥0，显然a>b成立，选项A正确；
对于B，若ab>ac，当a>0时，b>c，当ad，但是a−c=−2,b−d=1，
不满足a−c>b−d，选项C错误；
对于D，令a=3,b=−2,1c=1,1d=−2，满足a>b，1c>1d，但是ac=3,bd=4，
不满足ac>bd，选项D错误，
故选：A.
【题型7 利用不等式的性质证明不等式】
【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）设x>0，y>0，z>0，证明：1x+z，x+y+z>y+z和xx+y>xx+y+z，yy+z>yx+y+z，zz+x>zx+y+z证明即可.
【解答过程】由题意知x>0，y>0，z>0，
则有x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z，①
xx+y>xx+y+z，yy+z>yx+y+z，zz+x>zx+y+z，
所以xx+y+yy+z+zz+x>xx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=1．
又根据①的结论可知xx+y0，故(a−1)(b−1)>0，
由d0，
所以ac+bd−bc−ad=(c−d)(a−b)>0，即ac+bd>bc+ad，得证.
【变式7.2】（2025高一上·全国·专题练习）已知b>a>0，c>d>0，求证cc+a>dd+b．
【解题思路】利用不等式的性质证明．
【解答过程】根据不等式的性质利用综合法即可证明．
因为b>a>0，所以1a>1b>0，
又因为c>d>0，所以ca>db>0，
所以bd>ac>0，所以bd+1>ac+1>0+1，
所以b+dd>a+cc>1，
所以cc+a>dd+b．
【变式7.3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知b g糖水中有a g糖（b>a>0），往糖水中加入m g糖（m>0），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较M=2019201920232023,N=2019201620232020的大小；
(3)证明命题：设x>0,y>0,z>0，证明：10,z>0，
由（1）中的结论，可得xx+y