第07讲 基本不等式 -【暑假预科讲义含答案】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

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模块一
两个不等式
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq \r(ab)≠eq \f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq \r(ab)0,b>0
C．ab≥2aba+ba>0,b>0D．a2+b22≥a+b2a>0,b>0
【解题思路】由CD≥OD可得．
【解答过程】OD=a+b2，OC=b−a2，CD=(a+b2)2+(b−a2)2=a2+b22，而CD≥OD（C,O重合时取等号），
因此有a2+b22≥a+b2a>0,b>0．
故选：D．
【变式1.2】（2025高二·上海·学业考试）下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（ ）
A．a2+b2≥2abB．a2+b2≥−2ab
C．a+b22≥abD．a+b22≥−ab
【解题思路】根据重要不等式和基本不等式可选出答案.
【解答过程】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立
当a=1,b=−1时a+b22≥−ab不成立，
故选：D.
【变式1.3】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a, BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD, BD．可证△ACD~△DCB，因而CD=ab．由于CD小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果a>b>0，那么a>b
B．如果a>b>0，那么a2>b2
C．对∀a>0, b>0，都有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立
D．对∀a>0, b>0，都有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
【解题思路】根据题意，结合CD小于或等于圆的半径求解即可.
【解答过程】由题意，由于CD小于或等于圆的半径，AB是圆的直径，
且AC=a, BC=b，CD=ab，
所以ab≤a+b2，当且仅当a=b时等号成立.
故选：C.
【题型2 利用基本不等式比较大小】
【例2】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知a>0，b>0，则a＋b2，ab， a2＋b22，2aba＋b中最大的是（ ）
A．a2＋b22B．abC．a＋b2D．2aba＋b
【解题思路】利用基本不等式，先比较2aba+b与ab，然后比较ab与a+b2，再比较a+b2与a2+b22，由此确定出正确选项.
【解答过程】因为a>0,b>0，所以2aba+b≤2ab2ab=ab，ab≤a+b2，
a2+b22=2a2+b24≥a+b24=a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，
则2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22.
故选：A.
【变式2.1】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）
A．abB．21a+1bC．a2+b22D．a+b2
【解题思路】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小.
【解答过程】因为a、b为互不相等的正实数，
所以由重要不等式可得a2+b2>2ab，则2a2+b2>a2+b2+2ab=a+b2，
所以，a2+b22>a+b24，则a2+b22>a+b2>ab，
由基本不等式可得21a+1ba+b2>ab>21a+1b，
因此，最大的数为a2+b22.
故选：C.
【变式2.2】（24-25高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金100g，售货员先将50g砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）
A．小于100gB．等于100g
C．大于100gD．与左右臂的长度有关
【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项.
【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为x，y，
设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克，
则50x=aybx=50y，解之得a=50xyb=50yx，
则顾客购得的黄金为a+b=50xy+50yx≥250xy×50yx=100（克），
（当且仅当x=y时等号成立），
由题意知，x≠y，则a+b>100克.
故选：C.
【变式2.3】（2025高一·上海·专题练习）已知00，y2>0，x3>0，y3>0，x+y≥2xy>0，
∴x2+y2≥2x2y2>0，x3+y3≥2x3y3>0（当且仅当x=y时等号成立）.
∴x+yx2+y2x3+y3≥2xy⋅2x2y2⋅2x3y3，
即x+yx2+y2x3+y3≥8x3y3，当且仅当x=y时，等号成立.
【变式3.3】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，证明：
(1)a2c+b2a+c2b≥1；
(2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1−a)(1−b)(1−c).
【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立；
（2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立.
【解答过程】（1）因为a2c+c+b2a+a+c2b+b≥2a2+2b2+c2=2a+b+c，
当且仅当a=b=c时等号成立，
故a2c+b2a+c2b≥a+b+c=1，当且仅当a=b=c=13时等号成立，
故a2c+b2a+c2b≥1成立.
（2）(1+a)(1+b)(1+c)=2a+b+c2b+a+c2c+a+b,
由基本不等式有2a+b+c=a+c+a+b≥2a+ca+b，
2b+a+c=b+c+b+a≥2b+ca+b，
2c+a+b=c+a+c+b≥2a+cc+b，
故(1+a)(1+b)(1+c)≥8a+bb+cc+a=81−a1−b1−c，
当且仅当a=b=c=13时等号成立.
模块二
基本不等式与最值
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
2．利用基本不等式求最值的几种常见方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例4】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知x>−4，则2x+1x+4的最小值为（ ）
A．22−8B．22+8
C．22D．22+4
【解题思路】将原式化为2x+4+1x+4−8，然后利用基本不等式求解即可.
【解答过程】因为x>−4，所以x+4>0，
所以2x+1x+4=2x+4+1x+4−8≥22−8，
当且仅当2x+4=1x+4，即x=22−4时等号成立，
所以2x+1x+4的最小值为22−8.
故选：A.
【变式4.1】（24-25高一上·山西·期中）已知00，y>0，所以x−1>0，同理y−2>0，
又2xx−1+yy−2=2(x−1)+2x−1+y−2+2y−2=3+21x−1+1y−2，
因为(x−1)(y−2)=2，x−1>0，y−2>0，
由基本不等式就可得1x−1+1y−2≥21x−1⋅1y−2=2，
所以2xx−1+yy−2≥3+22，当且仅当x=1+2，y=2+2时等号成立，
所以2xx−1+yy−2的最小值为3+22.
故选：B.
【题型6 基本不等式的恒成立问题】
【例6】（24-25高一上·四川达州·期中）已知a>0，b>0，若不等式ma+b≤4a+9bab恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．64B．25C．13D．12
【解题思路】将不等式变形为m≤4a+9baba+b，利用基本不等式即可得出答案．
【解答过程】a>0，b>0，则a+b>0，
不等式 ma+b≤4a+9bab恒成立，即m≤4a+9baba+b恒成立，
4a+9baba+b=4b+9aa+b=13+4ab+9ba≥13+24ab⋅9ba=25，
当且仅当4ab=9ba，即b=23a时等号成立，
所以m≤25，即实数m的最大值为25.
故选：B.
【变式6.1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数x,y>0，且2x+1y=1，若2x+y>m2−8m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|−1m2−8m，
解得−10,b>0，且a+2b=2，若t2≤ba+2b恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．−3,3B．−2,2C．−43,1D．−1,1
【解题思路】利用基本不等式求得ba+2b的最小值，由此列不等式来求得t的取值范围.
【解答过程】已知a>0,b>0，则ab>0,ba>0，
因为ba+2b=ba+a+2bb=ba+ab+2≥2ba⋅ab+2=4，
当且仅当ab=ba时等号成立，由a+2b=2a=b>0，解得a=b=23.
故ba+2b的最小值为4.
因为t2≤ba+2b恒成立，所以t2≤4，解得−2≤t≤2，即t∈−2,2.
故选：B.
【题型7 基本不等式的有解问题】
【例7】（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y42aba+b
C．a+b2>2aba+b>abD．2aba+b>ab>a+b2
【解题思路】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案.
【解答过程】由a>b>0，则a+b2>ab，故2a+b2aba+b，B对，A、C、D错.
故选：ACD.
10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．x+1x的最小值是2B．x(2−x)(00，证明：ab+ba≥a+b.
【解题思路】（1）利用基本不等式计算可得结果；
（2）利用作差法计算即可证明得出结论.
【解答过程】（1）易知a+b=ab≤a+b22，即可得4a+b≤a+b2,
解得a+b≥4，当且仅当a=b=2时，等号成立，
此时a+b的最小值为4；
（2）因为a>0,b>0，
所以ab+ba−a−b=ab−b+ba−a=a−bb+b−aa
=a−b1b−1a=a−b2a+bab≥0,
因此ab+ba≥a+b.
17．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知x>0，y>0，且2x+y=1．
(1)求xy的最大值；
(2)求1x+2y的最小值．
【解题思路】（1）利用基本不等式可得2x+y≥22xy，即可求解；
（2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解．
【解答过程】（1）∵x>0，y>0，
∴2x+y≥22xy，
∴1≥22xy，即xy≤18，
当且仅当2x=y=12，即x=14,y=12时，xy取得最大值18；
（2）1x+2y=(1x+2y)(2x+y)=4+yx+4xy
≥4+2yx⋅4xy=4+4=8，
当且仅当yx=4xy，即x=14,y=12时，1x+2y取得最小值8．
18．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为600m2的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，

(1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式．
(2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【解题思路】（1）设蔬菜的种植面积为ym2，矩形温室的长为xm，可得种植蔬菜矩形的宽为(600x−6)m，再根据矩形的面积公式即可得答案；
（2）利用基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）解：设蔬菜的种植面积为ym2，矩形温室的长为xm，
则矩形温室的宽为600xm,种植蔬菜矩形的长为(x−4)m，宽为(600x−6)m，
所以y=(x−4)(600x−6)(40.
(1)若a+2b=2，证明：ab≤12；
(2)若00，所以2=a+2b≥22ab，
则ab≤12，故ab≤12，
当且仅当a=2b，即a=1，b=12时取等号.
（2）因为00，b>0，所以b+22ab>0，
则b+22abx−a+b≤0可化为x≤a+bb+22ab恒成立，
又b+22ab≤b+2a+b=2a+b，当且仅当2a=b时取得等号，
所以a+bb+22ab≥a+b2a+b=12，
则x≤12，
故x的取值范围为−∞,12.
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0,b>0)
当且仅当“a=b”时取“=”