专题2.2 基本不等式【八大题型】-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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\l "_Tc11558" 【题型1 对基本不等式的理解】 PAGEREF _Tc11558 \h 1
\l "_Tc745" 【题型2 由基本不等式比较大小】 PAGEREF _Tc745 \h 3
\l "_Tc207" 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 PAGEREF _Tc207 \h 4
\l "_Tc3451" 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 PAGEREF _Tc3451 \h 6
\l "_Tc2187" 【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 PAGEREF _Tc2187 \h 7
\l "_Tc22422" 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 PAGEREF _Tc22422 \h 9
\l "_Tc32631" 【题型7 基本不等式的有解问题】 PAGEREF _Tc32631 \h 11
\l "_Tc1977" 【题型8 基本不等式的实际应用】 PAGEREF _Tc1977 \h 13
【知识点1 两个不等式】
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq \r(ab)≠eq \f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq \r(ab)2yC．x≤2yD．x0，即x>2y.
故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+4a2≥4中，等号成立的条件是（ ）
A．a=4B．a=2C．a=−2D．a=±2
【解题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【解答过程】由基本不等式可知a2+4a2≥2a2⋅4a2=4，当且仅当a2=4a2，
即a=±2时等号成立，
故选：D.
【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①ab>0；②ab0，b>0；④a0，所以，a、b同号，所以①③④均可以.
故选：C.
【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
A．ab≤14B．a2+b2≥12
C．1a+1b+1>2D．a+b≤1
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
由基本不等式可得ab≤a+b22=14（当且仅当a=b时取等号），A正确；
由基本不等式知a+b2≤a2+b22，则12≤a2+b22，
即a2+b2≥12（当且仅当a=b时取等号），B正确；
由题得1a+1b+1=11−b+1b+1=21−b2，
由已知02，C正确；
由基本不等式可得a+b2≤a+b2=12，
即a+b≤2（当且仅当a=b时取等号），D错误.
故选：D.
【题型2 由基本不等式比较大小】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋4a2(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．P＜QC．P≥QD．P≤Q
【解题思路】由基本不等式可得P≥4，通过配方结合1