预备知识06 等式性质与不等式性质-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
对点特训一：比较两个代数式的大小
角度1：由不等式比较数（式）的大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数、满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）（23-24高一上·广东·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
精练
1．（2024高二下·山东）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
角度2：利用作差法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，则、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
例题2．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．无法确定
例题3．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．无法确定
精练
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
角度3：利用作商法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
例题2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小.
精练
1．（2024高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ．
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小
3．（23-24高一·全国·课后作业）若，求证：．
对点特训二：利用不等式的性质证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）（1）比较与的大小．
（2）已知，求证：；
例题2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小：与；
（2）若，，求证：.
精练
1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若，，求证：.
2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：.
对点特训三：利用不等式的性质求取值范围
典型例题
例题1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 .
例题3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
精练
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则的取值范围为 .
一．单选题
1．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
6．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较
8．（2024高三·全国·专题练习）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·海南·阶段练习）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ．
12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ．
四、解答题
13．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）（1）已知，比较与的大小；
（2）设x，y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．
14．（21-22高一上·湖北十堰·阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
自然语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意c的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
a，b同为正数