预备知识07 基本不等式-2025年（初升高衔接）新高一暑假预习讲义（含答案解析）

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1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等
2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力
3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题
知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
对点特训一：对基本不等式的理解
典型例题
例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）两个不等式与成立的条件是相同的.( )
（2）当时，.( )
（3）当时，.( )
（4）函数的最小值是2.( )
【答案】 错误 正确 正确 错误
【分析】根据基本不等式的概念和定义一一判定即可.
【详解】对于（1），不等式成立的条件是；不等式成立的条件是，错误；
对于（2），是基本不等式的变形公式，正确；
对于（3），是基本不等式的变形公式，正确；
对于（4），当时，是负数，错误；
故答案为：（1）错误 （2）正确 （3）正确 （4）错误.
例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是 ．
①若，则；
②若，则；
③若，则.
【答案】②
【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可.
【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，
当，即时，等号成立，
因为，所以，故①错误；
②因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故②正确；
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件，
当时，，故③错误．
故答案为： ②.
精练
1．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（ ）
A．不等式恒成立
B．存在实数,使得不等式成立
C．若,,则
D．若,且,则
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”判断ABC的正误,用 “1”的代换判断D的正误.
【详解】解:不等式只有在a,b都为非负数的时候才恒成立,
故A错误;
当时,,
故B正确;
若,
则由基本不等式得,
当且仅当即时,等号成立,
故C正确;
因为,,且,
所以,
所以
当且仅当且时取等号,即时取等号;
故D正确.
故选:BCD.
2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】利用充分不必要判断即可
【详解】当时，，
当且仅当时，取等号，所以充分性成立，
由，
所以，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
对点特训二：利用基本不等式求最值
角度1：和为定值求积的最值
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】
直接由基本不等式即可求解.
【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当.
故选：B.
例题2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】D
【分析】利用基本不等式直接求出最大值.
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为3.
故选：D
例题3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由均值不等式判断充分条件，再举出反例得到不是必要条件即可.
【详解】因为，解得，所以是充分条件；
当时满足，此时，所以不是必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：B
精练
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式直接计算即可.
【详解】由题意得，，则， ，即，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于，，，所以，故，
当且仅当，即时等号成立，
故选：B
3．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由基本不等式求积的最大值.
【详解】，
由基本不等式可知，
当且仅当时等号成立，即的最大值为.
故答案为：
角度2：积为定值求和的最值
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：C
例题2．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意知，所以，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
例题3．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 .
【答案】
【分析】借助基本不等式即可得.
【详解】由，故，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
精练
1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小值是（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
则的最小值是.
故选：D.
2．（23-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．50B．40C．20D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由，则，当且仅当，即时，
等号成立，故的最小值为20．
故选：C
3．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值为 .
【答案】
【分析】根据基本不等式进行求解即可.
【详解】由已知，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
角度3：常数代换法
典型例题
例题1．（2024高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案.
【分析】因为且，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2.
故选：A.
例题2．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
故选：C
例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．10C．9D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由可得，，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为9，
故选:C.
精练
1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．3D．8
【答案】B
【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得.
【详解】因，，故由，
当且仅当时，等号成立.由解得：
即当且仅当时，取最小值为4.
故选：B.
2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为
【答案】1
【分析】利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案.
【详解】因为，且，所以，
因为，当且仅当时，取到等号，
所以，即的最小值为1.
故答案为：1
3．（2024·全国·模拟预测）已知，若，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】将所求的式子乘以“1”,然后利用基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
角度4：凑配法
典型例题
例题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选:D
例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.
【详解】由，则，
当且仅当时等号成立，故最小值为.
故选：C
例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，则的最小值是 .
【答案】6
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值是6.
故答案为：6.
精练
1．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．-2B．0C．1D．
【答案】B
【分析】变形后由基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故选：B
2．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】利用基本不等式即可求值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：4
3．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ．
【答案】 5 14
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最小值为.
故答案为：；.
角度5：二次与二次（或一次）商式
典型例题
例题1．（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A．B．3C．6D．12
【答案】A
【分析】由基本不等式求解，
【详解】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，
故选：A
例题2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函数的值域是 .
【答案】
【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】，
当时，
当时，
所以，
所以函数的值域是，
故答案为：
【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域.
例题3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ．
【答案】
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】将函数解析式化简后，利用基本不等式求得函数的最小值.
【详解】．当且仅当，即时等号成立．
故答案为：1
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
【答案】/
【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，则，
所以
≤，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
3．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
对点特训三：基本不等式在实际中的应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可.
【详解】依题意，，而，
因此，当且仅当时取等号，
所以.
故选：B
例题2．（22-23高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油．
(1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价；
(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．
【答案】(1)第一种方案的均价为；第二种方案的均价为；
(2)第二种加油方案比较经济划算，详见解析.
【分析】（1）根据题意即得；
（2）利用基本不等式即得.
【详解】（1）由题可得第一种方案的均价为，
第二种方案的均价为；
（2）因为，，
所以，，
所以，
即第二种加油方案比较经济划算.
例题3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【答案】(1)
(2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元
【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式.
（2）平均费用为，利用基本不等式计算即可.
【详解】（1）设成本费用为，仓储费用为元，则，，
当时，，，可得，，
故.
（2）平均费用，
当且仅当，即时，等号成立.
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
精练
1．（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长.
【答案】大于
【分析】根据力矩平衡原理，列出等量关系，即可由基本不等式求解.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
但，等号不成立，即．
因此，顾客购得的黄金大于．
故答案为：大于
2．（22-23高二上·广西南宁·开学考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．
【答案】5km；最小费用为8万元
【分析】先设出，代入自变量及对应的函数值，求出，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值.
【详解】设，
当时，，
∴，
∴，
∴两项费用之和为．
当且仅当时，即当时等号成立．
即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，
且最小费用为8万元．
3．（23-24高一·全国·课后作业）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点.当的面积最大时最节能．
（1）设米，用表示图中的长度，并写出的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
【答案】（1）；（2）长为米，宽为米.
【分析】（1）根据可得，由勾股定理可得的关系，再根据可得的取值范围；
（2）设的面积为，计算可得，利用基本不等式可得何时取最大值.
【详解】解：（1）由题意，.
因，故.
设，则.
因，故.
由，得，
化简得.
（2）设的面积为，，
当且仅当)时，取得最大值．
答：当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好．
【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，本题中注意折叠前后各几何量之间的关系，利用基本不等式求最值时注意“一正、二定、三相等”.
对点特训四：与基本不等式有关的恒成立问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）“对所有，不等式恒成立”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式恒成立和构造基本不等式可确定，即可求解.
【详解】由不等式恒成立，得恒成立，
因为，
当且仅当，即时取得等号，
所以不等式恒成立，则，
因为是的充分不必要条件，
故选:D.
例题2．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
由任意，恒成立， 所以，
符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；
故选：ACD
例题3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先根据已知条件得到，然后结合基本不等式即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.
【详解】因为，，，所以，
则，
当且仅当时，即时取等号，
所以，
解得.
故答案为：
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|﹣1≤a≤4}B．{a|a≤﹣2或a≥5}C．{a|a≤﹣1或a≥4}D．{a|﹣2≤a≤5}
【答案】A
【分析】利用基本不等式求出不等式x的最小值为4，转化为4≥a2﹣3a，由此解得实数a的取值范围．
【详解】解：∵x＞0，∴不等式x24，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4，
由关于x的不等式xa2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，
可得 4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，
故选：A．
2．（2024高三·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先分离变量可得在时恒成立，然后利用均值不等式求最值即可.
【详解】解：当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立，
即等价于；
而因为，故,当且仅当，即时取得最大值.
故.
故选：D.
【点睛】本题考查了分离变量最值法，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题.
3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若对有恒成立，则的取值范围是
【答案】
【详解】试题分析：因为，而恒成立，则，当且仅当x=2y时取得等号那么可知只要小于等于表达式的最小值8即可，故答案为
考点：本试题主要考查了运用均值不等式求解最值．
点评：解决该试题的关键是对于不等式的恒成立问题，我们一般转换为函数的最值来研究，从而得到参数a的范围．
一、单选题
1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：C.
2．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为x，y为正实数，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
3．（20-21高一下·内蒙古赤峰·期末）若，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当时等号成立，
故选：A.
4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，可得，
且，，可知，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为1.
故选：B.
5．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.
【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立，
所以不等式恒成立，故，故，
故选：D
6．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．以上选项都有可能
【答案】A
【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可.
【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，.
由杠杆原理得，，解得，，
则，当且仅当取等号.
又，故.
故选：A
7．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，且，所以，
从而，等号成立当且仅当，
所以的最小值为.
故选：A.
8．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（ ）
A．最小值1B．最大值1C．最小值D．最大值
【答案】D
【分析】由题意，，，利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
.
当且仅当，即时等号成立，
所以函数有最大值.
故选：D.
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）【多选题】下列命题中，为真命题的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式对选项AC进行判断即可得A正确，C错误；当时，可将不等式化为，再由基本不等式判断可得B错误，取代入可得D正确.
【详解】对于A：利用基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B：对于，，
当且仅当时，等号成立；即命题不成立，故B错误；
对于C：易知对于，，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D：易知当时，，即，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
10．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由正数满足，可得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
11．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）利用基本不等式，结合换元法即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
则，当且仅当，即时，取到等号，
所以的最大值为；
（2）因为，所以，
令，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取到等号，
所以的最小值为.
12．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
【答案】(1)
(2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
【分析】（1）由题意知，再代入化简即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）由题意，，
.
（2），
当且仅当，即时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.