专题10 平面解析几何（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）(原卷版+解析版)

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这部分在教材选择性必修一中，直线方程占比3%，直线方程与点到直线距离公式是考查的方向。
圆锥曲线是必考的章节，占比17%。其中求标准方程、离心率等，直线与圆锥曲线的位置关系综合、定点定值等是必考题型。注意韦达定理的运用。
基础知识梳理
1、直线的方程
直线的倾斜角与斜率
（1）设直线与轴相交于点,将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角.且;
（2）当时,角的正切值叫做直线的斜率,记作,当时,斜率不存在;
(3)直线过点,则直线的斜率.
直线方程的形式(注意方程形式的局限性)
(1)点斜式:[直线过点,斜率为;
(2)斜截式:(直线在轴上截距为,斜率为);
(3)两点式:(直线过两点);
(4)一般式:不全为0;
(5)点法向式:直线的一个法向量为
1、1、1、
2、两直线的位置关系
两条直线位置关系的判断
方法一：利用系数比
方法二:利用法向量
方法三:利用斜率、截距
两条直线垂直的判断不同时为零)不同时为零
(1);
(2)当的斜率都存在,分别设为,则.
两条直线的夹角
设直线和不全为零,不全为
零),与的夹角为,则.
点到直线的距离
点到直线不全为零)的距离为.
两平行线之间的距离
设直线和(不全为零),则它们之间的距离为.
3、圆的方程
1.圆的定义
在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
2.圆的标准方程
(1)若圆心为,半径为,则该圆的标准方程为:;
(2)方程表示圆心为,半径为的圆.
(3)单位圆的方程:.
3.圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为:.这个方程就叫做圆的一般方程;
(2)对方程:
(1)若,则方程表示以为圆心,为半径的圆;
(2)若,则方程只表示一个点;
(3)若,则方程不表示任何图形.
说明:类似地,可研究方程表示圆的充要条件.提示:,请写出此时的圆心坐标和半径.
4.点与圆的位置关系
(1)点在圆内;
(2)点在圆上;
(3)点在圆外.
1.直线与圆相切
(1)直线与圆相切:直线与圆有且只有一个公共点;
(2)几何法:圆心到直线的距离等于半径,即;
(3)代数法:,方程组有一组不同的解.
2.直线与圆相交及弦长
(1)直线与圆相交:直线与圆有两个公共点;
(2)几何法:圆心到直线的距离小于半径,即;
(3)代数法:,方程组有两组不同的解.
3.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为,圆心距为,半径分别为.
(1)两圆相离:无公共点;,方程组无解;
(2)两圆外切:有一个公共点;,方程组有一组不同的解;
(3)两圆相交:有两个公共点;,方程组有两组不同的解;
(4)两圆内切:有一公共点;,方程组有一组不同的解;
(5)两圆内含:无公共点;,方程组无解.特别地,时,为两个同心圆.
4、椭圆
1.椭圆的概念
(1)定义:平面上到两定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
（2）集合的记号表示:集合.
(1)若,则集合为椭圆;
(2)若,则集合为线段;
(3)若,则集合为空集.
2.椭圆的标准方程
(1)焦点在轴,;
(2)焦点在轴,.
3.椭圆的性质
1.直线与椭圆位置关系的判断
（1）代数法:把椭圆方程与直线方程联立消去,整理得到关于的方程0.记该一元二次方程根的判别式为, eq \\ac(○,1)若,则直线与椭圆相交; eq \\ac(○,2)若,则直线与椭圆相切; eq \\ac(○,3)若,则直线与椭圆相离;
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出椭圆和直线,利用图像和性质可判断直线与椭圆的位置关系.
2.直线与椭圆的相交问题
（1）弦长公式:设直线与椭圆有两个公共点,则弦长公式为或
说明：如右图,或.此方法是典型的化归思计算.
(2)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).
3.焦点三角形
椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形,,的面积为,则在椭圆中
(1)当为短轴端点时,最大;
(2),当时,即点为短轴端点时,取最大值,最大值为;
(3)焦点三角形的周长为.
4.焦点弦(过焦点的弦)
焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长.
5、双曲线
1，双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线.
(1)在平面上;
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;
(3)这一定值一定要小于两定点的距离.
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
4.渐近线与离心率
的一条浙近线的斜率为.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.
1.直线和双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组,消元转化为关于或的一元二次方程,其判别式为.如消去,可得:
若,即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
若,即,
(1)直线和双曲线相交,有两个交点;
(2)直线和双曲线相切,有一个公共点;
(3)直线和双曲线相离,无公共点.
2.几个重要结论
（1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为,也叫通径;
（2）与双曲线有共同渐近线的方程可表示为;
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为;
(4)若是双曲线右支上一点,分别为双曲线的左、右焦点,则,.
3.重要思想方法
(1)待定系数法求双曲线方程的常用方法
eq \\ac(○,1)与双曲线共渐近线的可设为;
eq \\ac(○,2)若渐近线方程为,则可设为;
eq \\ac(○,3)若过两个已知点,则设为.
(2)应用双曲线的定义需注意的问题:
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.
（3）求双曲线方程时,一是标准形式判断;二是注意的关系易错易混.
(4)双曲线的标准方程中对的要求只是,易误认为与椭圆标准方程中的要求相同.
若,则双曲线的离心率;
若,则双曲线的离心率；
若,则双曲线的离心率.
(5)等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系等轴双曲线的方程为,即.
6、抛物线
1.抛物线的定义:平面上到一个定点和到一条定直线(不在上)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.过点作准线的垂线,设垂足为,则线段的中点称为此抛物线的顶点.
2.抛物线的标准方程及其性质.
1.直线和抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组,消元转化为关于或的一元二次方程,其判别式为.如消去,可得:
若,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点;
若,
(1)直线和抛物线相交,有两个交点;
(2)直线和抛物线相切,有一个公共点;
(3)直线和抛物线相离,无公共点.
2.直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点,则,同理可得.
3.常用思想方法
(1)抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,注意转化思想的运用(用抛物线的定义可化斜为直);
(2)利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题,该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
4.常见与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点.设,则:
(1)焦点弦长或(为的倾斜角);
(2);
(3),其中叫做焦半径,;
(4)焦点弦长最小值为.根据可见,当为时,即垂直于轴时,弦的长最短,最短值为.
考点精讲讲练
考点一：直线的倾斜角与斜率
【典型例题】
例1.已知坐标平面内三点A−1,1、B1,1、C2,3+1.
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
【即时演练】
1．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2:y=xtan80°的倾斜角小20°，则l1的斜率为 ．
2.已知直线2x−y+1=0的倾斜角为α，则tan2α的值是 ．
3．（2007·上海·高考真题）直线4x+y−1=0的倾斜角θ= ．
4.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“csα1−α2