专题09 简单几何体（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）(原卷版+解析版)

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简单几何体是高考的基础章节，高考占比9%左右，可以和空间直线与平面结合，考查证明题、空间角度与距离求解。也可以单独考查表面积、体积等计算。春考中，3年5考。
基础知识梳理
柱体
棱柱
1）棱柱的结构特征
棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
2）棱柱的分类
3）棱柱的性质
(1)侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;
(2)两底面是全等多边形且互相平行;
(3)平行于底面的截面和底面全等.
4.棱柱的面积和体积公式
是底周长,是高
圆柱
1）圆柱的结构特征
圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
2）柱的性质
（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆;
(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
3）.圆柱的侧面展开图
圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.
4）.圆柱的面积和体积公式
为底面半径,为圆柱的高
锥体
棱锥
1）.棱体的结构特征
(1)棱体:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱体;
(2)正棱体:如果有一个棱体的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱体叫做正棱体.
2）.正棱锥的结构特征
(1)平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;
它们面积的比等于截得的棱体的高与原棱体的高的平方比;
截得的棱体的体积与原棱体的体积的比等于截得的棱体的高与原棱体的高的立方比;
(2)正棱体的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;
(3)正棱体侧面积:为底周长,为斜高.
3）.棱体的体积
为底面积,为高
4）.正四面体
棱长为的正四面体,可将它补成一个边长为的正方体.(见P144右上角图)
对棱间的距离为(正方体的边长);正四面体的高(等于);正四面体的体积为
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为
说明：正四面体,可补全为一个正方体,如右图所示,在正方体中研究正四面体的相应问题,是化归思想的很好体现.
棱台
1）.棱台的结构特征
棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台.
2）.正棱台的结构特征
(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;
(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;
(3)正棱台的对角面是等腰梯形;
(4)各侧棱的延长线交于一点.
圆锥
1）.圆锥的结构特征
圆台的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
2）.圆锥的性质
(1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;
(2)轴截面是等腰三角形.
3）.母线的平方等于底面半径与高的平方和
4）.圆锥的侧面展开图
圆台的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形.
圆台
1）.圆台的结构特征
圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆台,我们把截面和底面之间的部分称为圆台.
2）.圆台的性质
（1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;
(2)圆台的截面是等腰梯形;
（3）圆台经常补成圆台,然后利用相似三角形进行研究.
3）.圆台的面积和体积公式
为上下底面半径,为圆台的母线长为圆台的母线长
为圆台的高、
3、多面体与旋转体
1.多面体的结构特征
2.旋转体的结构特征
3.面积和体积公式
(1)多面体
表中表示面积,分别表示上、下底面周长,表示高,表示斜高,表示侧棱长.
(2)旋转体
表中分别表示母线、高,表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,分别表示圆台上、下底面半径,表示半径.
4、球体
1）.球的结构特征
球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体.
2）.球的性质
(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面;
(2)截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:
3）.球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是:
（1）根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形;
(2)找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后作出剖面图;
(3)将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题;
(4)注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体,球
直径等于正方体对角线;球外切正方体,球直径等于正方体的边长.
4）.球的面积和体积公式为球半径
考点精讲讲练
考点一：几何体中的计算
【典型例题】
例1．（2023·全国·模拟预测）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．已知长方体ABCD−A1B1C1D1，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（ ）
A．AB1，AC，AD1的长度
B．AC，B1D，A1C的长度
C．B1C，A1D，B1D的长度
D．AC1，BD，CC1的长度
例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=PB=2，PC=2，则该四棱锥的高是（ ）
A．22B．32C．2D．3
例3．（2024·上海崇明·二模）已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线．若直线OA与BC所成角的大小为π3，则BC= ．
【即时演练】
1（24-25高三上·上海·期中）已知A、B、C、D是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面BCD的距离为 .
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）顶点为S的圆锥的母线长为60cm，底面半径为25cm，A,B是底面圆周上的两点，O为底面中心，且∠AOB=35π，则在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长为 cm．（精确到0.1cm）
3．（2023·上海徐汇·三模）在△ABC中，AC=23，顶点B在以AC为直径的圆上.点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则三棱锥P−ABC外接球的半径为 .
考点二：几何体的表面积与体积
【典型例题】
例1．如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．
(1)求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
(2)求四棱锥B−ACC1A1的体积和表面积．
【即时演练】
1．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知一个圆柱的高为1，底面半径3，则它的侧面积的大小为
2．（24-25高三上·上海·期中）若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为 .
3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是 .
4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知正四棱柱的侧棱长为2，体积为6，则该正四棱柱的表面积为 ．
5．（2023·上海浦东新·三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为2，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为 .
6．（24-25高三上·上海·期中）在△ABC中，AB=8,BC=5,AC=5 ， P为△ABC内部一动点(含边界)，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 .
7．（24-25高三上·上海·期中）圆锥的顶点为 P，将该圆锥的侧面沿母线 PA 剪开并展平得到一个圆心角为 32π，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为
8．（24-25高三上·上海·期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆AOC和半圆BOD的直径均为2.8米，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）

9．（2023·上海嘉定·二模）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点E、F分别是棱BC和CC1的中点．
(1)判断直线AE与D1F的关系，并说明理由；
(2)若直线D1E与底面ABCD所成角为π4，求四棱柱ABCD−A1B1C1D1的全面积．
10．如图，在圆柱OO1中，AB是圆柱的母线，BC是圆柱的底面⊙O的直径，D是底面圆周上异于B、C的点．
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若BD=2，CD=4，AC=6，求圆柱OO1的侧面积．
11．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥P−ABCD中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线AC和BD相交于点O
(1)求证；AC⊥平面PBD，并求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)求二面角A−PB−C的大小．
12．（24-25高三上·上海·期中）已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a(如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体.
(1)求新多面体的表面积和体积；
(2)求正八面体AEFBHC中二面角A-BF-C的大小.
考点三：球面距离
【典型例题】
例1.如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．

【即时演练】
1．（21-22高三上·上海宝山·开学考试）一个棱长为2的正方体容器，将8个直径均为1的球放入容器内，容器正中央能放入的最大的球的直径为 ．
2．（21-22高三上·上海黄浦·期中）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为BB1中点.
(1)求DE与平面AD1E所成角的大小；
(2)求A，C两点在长方体ABCD−A1B1C1D1所在外接球上的球面距离.
考点四：内切球与外接球
【典型例题】
例1．（2023·上海长宁·一模）已知AA1是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥A1—ABC外接球体积的最小值为
例2．（2023·上海嘉定·二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1，与该正方体每条棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为R3，则下列关系正确的是（ ）
A．R1:R2:R3=2:3:2B．R1+R2=R3
C．R12+R22=R32D．R13+R23=R33
【即时演练】
1．（2023·上海静安·一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A．142πB．140πC．138πD．128π
2．（2023·上海青浦·一模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，则三棱锥P−ABC外接球的体积为 ．
实战能力训练
1．（2024·上海黄浦·二模）若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为 .
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知球的体积是64π，则这个球的表面积是 .
3．（2024·上海·一模）已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为 ．
4．（2024·上海·三模）若底面半径为1的圆锥的体积为3π，则该圆锥的高为 ．
5．（2024·上海静安·二模）正四棱锥P−ABCD底面边长为2，高为3，则点A到不经过点A的侧面的距离为 ．
6．（24-25高三上·上海·阶段练习）圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为2πcm，半径为2cm，则该圆锥的体积等于 cm3．
7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为9π，则球O的体积为 .
8．（2023·上海普陀·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，DC=2，AD=AB=1，直线PA与平面ABCD成45°角.设四面体PBCD外接球的圆心为O，则球的体积为 .
9．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中O1O3=20厘米，O1O2=2厘米，AB=16厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数）
10．（2023·上海松江·一模）动点P的棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上运动，且与点A的距离是233，点P的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为
11．（2023·上海普陀·模拟预测）已知过A,B,C三点的球O的小圆为⊙O1，其面积为4π，且AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为 .
12．（2022·上海·模拟预测）若球O的半径为R（R为常量），且球面上两点A，B的最短距离为Rπ2，经过A，B两点的平面α截球所得的圆面与球心的距离为33R，则在此圆面上劣弧AB所在的弓形面积为 .
13．（24-25高三上·上海·期中）如图所示五面体中，四边形ABCD为长方形，EF//平面ABCD,△ADE和△BCF是全等的等边三角形.

(1)求证：EF//DC；
(2)若已知AB=2BC=2EF=4，求该五面体ABCDEF的体积.
14．（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高PO=2，三棱锥P−ABC的底面ABC是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.

(1)求直线PC和平面ABC所成角的大小；
(2)求该几何体的体积.
15．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点E、F分别为棱C1D1和AA1的中点.
(1)求异面直线EF与BC所成角的大小；
(2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征；
(3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小．
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2375" 考情解读 PAGEREF _Tc2375 \h 1
\l "_Tc33" 知识梳理 PAGEREF _Tc33 \h 1
\l "_Tc6142" 考点精讲 PAGEREF _Tc6142 \h 6
\l "_Tc4181" 考点一：几何体中的计算 PAGEREF _Tc4181 \h 6
\l "_Tc2042" 考点二：几何体的表面积与体积 PAGEREF _Tc2042 \h 7
\l "_Tc24003" 考点三：球面距离 PAGEREF _Tc24003 \h 11
\l "_Tc18990" 考点四：内切球与外接球 PAGEREF _Tc18990 \h 12
\l "_Tc4038" 实战训练 PAGEREF _Tc4038 \h 13