专题03 函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）(原卷版+解析版)

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函数部分高考占比16%，是必考考点，考试形式，填空题、选择题、解答题都有涉及。其中定义域、值域、分段函数、单调性、奇偶性、最值等都会考到。春考中，3年10考。2024年考查4题，2023年考查2题。
基础知识梳理
幂与指数
整数指数幂的定义与运算性质
如果a是一个实数，n是一个正整数，那么称
为 a的n次幂 ，正整数指数幂满足如下的运算性质；
对任意给定的实数a，b及正整数s，t，有
(1)asat=as+t (2)(as)t=ast; (3)(ab)t=atbt.
根式的概念
一般地，如果n为大于1的整数，且xn=a，那么x叫做a的 n次方根 .
式子叫做a的n次根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
幂的基本不等式
当实数a>1,，有理数s>0时，不等式as>1成立.
实数指数幂的性质
对任意给定的正数a，b及实数s，t，有
(1)asat=as+t (2)(as)t=ast; (3)(ab)t=atbt.
幂函数
幂函数的定义
当指数a固定，等式y=xa确定了变量y随变量x变化的规律，称为指数为a的幂函数.使得xa有意义的x的取值范围，称为此幂函数的 定义域 .幂函数的定义域可以是不相同的，它与 指数a 有关.
幂函数的性质
幂函数y=xa在第一象限总有图像，其图像随指数a的取值不同，可分为两种情况.
(1)a>0的情况，此时幂函数y=xa(a>0)在第一象限的图像由左至右是上升的，也就是说，在区间(0,+∞)上幂函数的函数值y随着x的（严格）增大而（严格）增大.此时称幂函数y=xa(a>0)在区间(0,+∞)上是 严格增函数
(2)a0,m,n∈N ，且n>1).
（3）有理数指数幂的运算性质：
①ar⋅as=ar+s(a>0,r,s∈R)、
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R)、
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
指数函数的定义
当底数a固定，且a>0,a≠1时，等式y=ax确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的指数函数
定义中的a>0且a≠1的固定是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.
（1）如果a=0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，a无意义；
（2）如果a0,a≠1，且N>0的条件下，唯一满足ax=N的数x，称为N以a为底的对数并用符号 表示，而N称为真数.
另外，由定义，对数lga⁡N这个记号表示满足方程ax=N的唯一确定的数x，因此algaN=N，这个式子是对数定义的另一个表达方式，同时也充分说明了对数运算是指数运算的 逆运算
由此恒等式可以推出，若两个正数M，N的对数lga⁡M与lga⁡N相等，则M=N，即若同一个底的两个对数相等，则其真数必相等，这是因为M=algaM=algaN=N，此外因为a0=1,a1=a，易见lga⁡1=0,lga⁡a=1.
常用对数与自然对数
对数的底a(a>0且a≠1)原则上可以任意选取．以10为底的对数称为常用对数，lg10N 通常记为 .
以无理数e为底的对数称为自然对数，lgeN通常记为
对数运算的基本性质
（1）当M>0,N>0时，,lga⁡(MN)=
（2）当M>0,N>0时,lga⁡MN=
（3）当N>0时，对任何给定的实数c,lga⁡Nc=clga⁡N.
（4）换底公式：当N>0时，lgb⁡N=
对数函数的定义与图像
当底数a固定，且a>0,a≠1时，x以a为底的对数y=lga⁡x确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的对数函数.因为只有当x>0时，lga⁡x才有意义，所以对数函数的定义域是
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像关于直线y=x对称.据此即可以画出对数函数的图像.
5、函数的概念
函数的定义
设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上的一个 函数 ，记作y=f(x),x∈D.其中，x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为该函数的 定义域 .
此时，就称y是x的函数.当自变量x取x0时，由对应关系f所确定的对应于x0的值y0,称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0).所有函数值组成的集合{y|y=f(x),x∈D}称为这个函数的 值域.
根据函数的定义，在定义域和对应关系确定的时候，这个函数就完全被确定了，从而值域也随之被确定.因此，定义域和对应关系称为函数的两个要素.
函数的表示方法
用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为 解析法 ·
通过列出自变量的值与对应函数值的对应表格来表达函数关系的方法称为 列表法 ,列表法通常用在定义域为有限集的情况.
对于函数y=f(x),x∈D，其定义域D中每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标，记作P(x,y).所有这些点组成的集合G叫做函数y=f(x),x∈D的图像，即G={(x,y)|y=f(x),x∈D}.可以看出，如果对定义域D中的实数x0，有f(x0)=y0，那么点P（x0，y0）一定在该函数的图像上；反之，如果点P(x0,y0)在该函数的图像上，那么必有x0∈D，且y0=f(x0).
利用函数的图像来表示函数的方法称为 图像法 .
在用解析法表示函数时，有一些函数在不同的区间上可以有不同的表达式.例如，函数y=|x|就是通过y={x,x≥0,−x,x0,n∈R)
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a会小于xn，但由于a 的增长 快于 xn的增长，因而总存在一个实数x0，使x>x0时有ax>xn.
（2）对数函数y=lga⁡x(a>1)与幂函数y=xn(n>0,n∈R)
对数函数y=lga⁡x(a>1)的增长速度，无论a与n值的大小如何，总会 慢于 y=xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0使x>x0时有lga⁡xx0时有lga⁡xkx1−x2x1x2
因为x1−x2>0，所以x1+x2>kx1x2，所以kx2≥1，所以x1+x2x1x2>2，所以k≤2
【即时演练】
1.已知幂函数fx=m2−2m−2xm2−4m+2在0,+∞上单调递减.
（1）求m的值并写出fx的解析式；
（2）试判断是否存在a>0，使得函数gx=2a−1x−afx+1在0,2上的值域为1,11？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）m=3，fx=x−1；（2）存在，a=6.
【解析】（1）（1）因为幂函数f(x)=m2−2m−2xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递减，
所以m2−2m−2=1m2−4m+20，使得gx在0,2上的值域为1,11，
①当00，且a≠1）.
(1)若f(b)+f(−b)=3，求f(2b)+f(−2b)的值.
(2)求关于x的方程f(2x)−2f(x)+1=0的解.
【答案】(1)7
(2)x=0
【解析】（1）因为f(b)+f(−b)=ab+a−b=3，
所以ab+a−b2=a2b+a−2b+2=9，
所以a2b+a−2b=7，
所以f(2b)+f(−2b)=a2b+a−2b=7.
（2）因为f(2x)−2f(x)+1=a2x−2ax+1=0，
则ax−12=0，
所以ax=1，
又因为a>0，且a≠1，
所以x=0.
考点四：指数函数的图像及其性质
【典型例题】
例1．设常数a>0，a≠1，fx=lgax−1lg2x−2.
(1)已知y=fx的图象过点8,2求实数a的值；
(2)当a=2时，对任意x∈1,8，都有fx≥m恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若方程fx=1有两个实数根x1，x2，且x1x2∈4,42，求实数a的取值范围.
【答案】(1)2
(2)−∞,−14
(3)24,1∪1,22
【解析】（1）因为图象过点8,2，所以f8=lga8−1lg28−2=lga8−1=2，
所以lga8=3，解得a=2.
（2）当a=2时，fx=lg2x−1lg2x−2=lg2x2−3lg2x+2，
因为x∈1,8，所以lg2x∈0,3，
令lg2x=t，则有ft=t2−3t+2，t∈0,3，
函数ft的对称轴为t=32，所以ftmin=f32=−14，
ftmax=f0=f3=2，所以−14≤fx≤2，
因为对任意x∈1,8，都有fx≥m恒成立，
所以m≤fxmin=−14，所以m≤−14，即实数m的取值范围为：−∞,−14.
（3）因为fx=1，则lgax−1lg2x−2=1 x>0，
化为lg2xlg2a−1lg2x−2=1 x>0，
整理有：lg2x2lg2a−2lg2xlg2a−lg2x+lg2alg2a=0 x>0，
因为a≠1，所以lg2a≠0，
所以原式可化为：lg2x2−2+lg2alg2x+lg2a=0 x>0，
令lg2x=t，则有t2−2+lg2at+lg2a=0，
Δ=2+lg2a2−4lg2a=lg2a2+4>0，
所以方程有两个根，设为t1、t2，且t1=lg2x1，t2=lg2x2，
所以t1+t2=2+lg2a，t1⋅t2=lg2a，
t1−t22=t1+t22−4t1⋅t2=2+lg2a2−4lg2a=4+lg2a2，
又因为t1−t2=lg2x1−lg2x2=lg2x1x2 x1>0,x2>0，
所以lg2x1x22=4+lg2a2，因为x1x2∈4,42，所以lg2x1x2∈2,52，
所以lg2x1x22∈4,254，即4≤4+lg2a2≤254，0≤lg2a2≤94，
0≤lg2a≤32，−32≤lg2a≤32，2−32≤a≤232，24≤a≤22，
又因为a≠1，所以a∈24,1∪1,22.
【即时演练】
1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知定义域为R的函数fx=a−2xb+2x是奇函数.
(1)求a,b的值；
(2)若存在t∈0,4，使fk+t2+f4t−2t2−4
【解析】（1）因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，得到a−1b+1=0，所以a=1，
又f(−1)=−f(1)，所以1−2−1b+2−1=−1−2b+2，解得b=1，
当a=1，b=1，fx=1−2x1+2x，f−x=1−2−x1+2−x=2x−12x+1=−1−2x2x+1=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，
所以，a=1，b=1.
（2）由（1）知fx=1−2x1+2x=−1+22x+1，
任取x1,x2∈R，且x1f(x2)，
得到函数f(x)在定义R上单调递减，又函数f(x)为奇函数，
由fk+t2+f4t−2t2t2−4t，令g(t)=t2−4t，对称轴为t=2，又t∈0,4，所以g(t)min=g(2)=22−8=−4，所以k>−4.
2．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数fx=a⋅2x−12x+1（a∈R）.
(1)若函数y=f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2)若对任意的x≥1，都有1≤f(x)≤3，求a的取值范围.
【答案】(1)a=−1；
(2)2⩽a⩽3.
【解析】（1）若函数y=f(x)为偶函数，
则f−x=a⋅2−x−12−x+1=a−2x2x+1=fx=a⋅2x−12x+1，
所以a−2x=a⋅2x−1，a⋅2x−1=1−2x，
所以a=−1；
（2）由f(x)⩾1可得：2x+1⩽a·2x−1，即22x⩽a−1，
因为当x⩾1时，函数y1=22x 单调递减，其最大值为1，
所以a−1≥1，即a≥2，
由f(x)⩽3可得a·2x−1⩽3·2x+3，即a−3⩽42x，
∵当x⩾1时，y2=42x单调递减，且无限趋近于0，
所以a−3≤0，即a≤3
综合可得：2⩽a⩽3．
考点五：对数式的化简与求值
【典型例题】
例1．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足lgab+lgba=52，aa=bb，则a+b= .
【答案】34/0.75
【解析】令t=lgab，则lgba=1t，
由lgab+lgba=52，得t+1t=52，
所以2t2−5t+2=0，解得t=12或t=2，
所以lgab=12或lgab=2，
所以a12=b或a2=b，
当a12=b时，则a=b2，
由aa=bb，得b2a=b2a=bb，所以2a=b，
由2a=ba=b2，又a>0，解得a=14b=12，
所以a+b=34；
当a2=b时，由aa=bb，得aa=a2b=a2b，所以a=2b，
由a=2ba2=b，又a>0，解得a=12b=14，
所以a+b=34，
综上所述，a+b=34.
故答案为：34.
例2．（2023·上海徐汇·模拟预测）方程lg(−2x)=lg3−x2的解集为 ．
【答案】x|x=−1
【解析】因为lg(−2x)=lg3−x2,
则−2x=3−x2−2x>03−x2>0，解得x=−1，
所以方程lg(−2x)=lg3−x2的解集为x|x=−1.
故答案为：x|x=−1
【即时演练】
1．（2023·上海奉贤·一模）设p>0,q>0且满足lg16p=lg20q=lg25p+q，则pq= .
【答案】5−12
【解析】令lg16p=lg20q=lg25p+q=k，则p=16k,q=20k,p+q=25k
所以p+q=4k2+4k⋅5k=5k2，整理得4k5k2+4k⋅5k5k2=4k5k2+4k5k=1
解得4k5k=5−12，所以pq=16k20k=4k5k=5−12
故答案为：5−12
2．（2023·上海浦东新·二模）函数y=lg2x+1lg4(2x)在区间(12,+∞)上的最小值为 ．
【答案】22−1．
【解析】y=lg2x+1lg4(2x)=lg2x+21+lg2x，
因为x∈12,+∞，所以lg2x∈−1,+∞，故1+lg2x∈0,+∞，
故y=1+lg2x+21+lg2x−1≥21+lg2x⋅21+lg2x−1=22−1，
当且仅当1+lg2x=21+lg2x，即x=22−1时，等号成立.
故答案为：22−1
3．法国数学家弗朗索瓦⋅韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题:
(1)关于x的方程x2−3x+m=0的一个实数根为2，求另一实数根及实数m的值
(2)已知α,β是方程ln2x−lnx3−2=0的两个根，求lgαβ+lgβα的值.
【答案】(1)x=1,m=2
(2)−132
【解析】（1）设另一个根n，由韦达定理得2+n=3,2n=m，解得n=1,m=2，
所以另一个实数根是1，实数m的值是2.
（2）由α，β是方程ln2x−lnx3−2=0的两个根， 得lnα和lnβ是方程t2−3t−2=0的两个根，
从而lnα+lnβ=3,lnα⋅lnβ=−2，lgαβ+lgβα=lnβlnα+lnαlnβ=ln2β+ln2αlnα⋅lnβ=(lnα+lnβ)2−2lnα⋅lnβlnα⋅lnβ=−132.
考点六：对数函数的图像及其性质
【典型例题】
例1．（2024·上海普陀·模拟预测）函数y=lga(x+2)−1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则1m+1n的最小值为 .
【答案】2
【解析】因为lga1=0，所以函数y=lga(x+2)−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−1,−1)，
即A(−1,−1)，
又点A在直线mx+ny+2=0上，故m+n=2，
又m>0,n>0，所以1m+1n=121m+1n(m+n)=122+nm+mn≥122+2nm×mn=2，
当且仅当nm=mn即m=n=1时等号成立，
所以1m+1n的最小值为2.
故答案为：2.
例2．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数fx=lg3x，若a0，求n的取值范围.
【答案】（1）6,8；（2）n≥6且n∈Z.
【解析】（1）函数fx=2lgax−n−lga2n−x，其中a>0且a≠1，n∈Z，
若n=6，不等式fx>0，即2lgax−6−lga12−x>0，
即2lgax−6>lga12−x，
∴当a>1时，x−62>12−x，且6