05（新高考Ⅰ卷专用）-2025年高考数学模拟卷

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列是等比数列，记数列an的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．1D．3
5．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
6．已知，且，则（ ）
A．B．C．1D．
7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A．正三棱台的高为
B．正三棱台的体积为
C．与平面所成角的正切值为1
D．正三棱台外接球的表面积为
10．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的面积为
B．的离心率为
C．点到轴的距离为
D．
11．定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．为的一个周期B．
C．若，则D．在上单调递增
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中的系数为 ．
13．已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为 ．
14．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．
16．（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形.
(1)证明：平面.
(2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.
17．（15分）已知数列an满足，.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
18．（17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.
(1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率；
(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.
①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；
②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.
19．（17分）设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：