07（新高考Ⅰ卷专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.213. 28814.-1590
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；
（2）由余弦定理得到的关系式，利用基本不等式求得，即得周长的最大值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得即，
则，
整理得，而，即.（6分）
（2）在中，，
由余弦定理得，即，
于是，
解得，当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.（13分）
16．（15分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
（2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数.
【详解】（1）若，则.
又,切点为，
曲线在处的斜率，
故所求切线方程为即.（5分）
（2）由题．
1°当时，在上单调递减，又.
故存在一个零点，此时零点个数为1. （7分）
2°当时，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故的最小值为.（9分）
当时，的最小值为0，此时有一个零点.
当时，的最小值大于0，此时没有零点．
当时，的最小值小于0，，
时，，此时有两个零点. （14分）
综上，当或时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，没有零点. （15分）
17．（15分）
【答案】(1)存在，(2)．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设.结合，得，利用，计算得出结果；
（2）利用空间向量法计算平面与平面所成角的余弦值；
【详解】（1）存在点，且当时，.
由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为
所以可求得
所以所以.
因为点在线段上，所以可设.因为，所以点，
所以，
假设存在点，使得，则，
所以，解得，即所以，
所以存在点，且当时，.（8分）
（2）由（1）得
所以，，，=.
设平面的法向量为，则，
取，得，则是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则，
取，得，则是平面的一个法向量.
设平面与平面所成的角为，
则=，
所以平面与平面所成角的余弦值为．（15分）
18．（17分）
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用及点在双曲线上，可构造方程求得，从而得到双曲线方程；
（2）验证可知直线斜率均存在，由斜率与倾斜角关系可得，将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式，结合韦达定理可表示出，化简整理得到或，验证可知满足题意，由直线过定点的求法可求得结果.
【详解】（1）由题意知：，，
，，
又在双曲线上，
，解得：；
双曲线的方程为：.（5分）
（2）当直线中的一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则，，
，直线，即，
由得：，解得：，
即直线与双曲线相切于点，不合题意；
直线斜率均存在，则，，
，
，即，
；
设Ax1,y1,Bx2,y2，由得：
且，，，
，，
由得：，
，
，
，
整理可得：，即，或，
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，满足，此时直线恒过点；
综上所述：直线过定点.（17分）
19．（17分）
【答案】(1)（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）理解数列新定义，从而得解；
（2）对等差数列进行分类：即递减等差数列和递增等差数列，然后根据新定义推导新数列的元素及通项，就可得以证明；
（3）利用反证法，结合数列的新定义即可得解.
【详解】（1）（ⅰ）根据题意：选，则有1，3，5，7，共有项；
选，则有3，5，7，共有项；
选，则有5，7，共有项；
选，则有7，共有项；
所以数列B为：4，3，2，1；（5分）
（ⅱ）同理数列B为：2，3，2，1，1. （7分）
（2）设数列A的公差为d，因为，
当时，数列A为单调递减数列，
所以，
所以B为等差数列.
当时，数列A为单调递增数列，
以数列A的任意项为首项选取长度最大的递增的单调子列为，，，，.
所以（，2，3，，n）.
所以B为等差数列，
综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列. （13分）
（3）若，，，中有一个，
那么数列A存在一个长为的递增子列.
所以A存在一个长度为的单调子列.
若数列A不存在长度超过t的递增子列，即，，2，3，，.
所以在，，，中，至少有个数是相等的.
取其中项，不妨设为，其中.
下面证明当，且时，，
假设，将加到以为首项长度为b的递增子列前面，
构成了以为首项长度为的递增子列，
与为首项的最长递增子列的项数为b矛盾，假设不成立.
所以，
由此可知，.
所以，，，，构成了一个长为的递减子列.
综上，A必存在一个长度为的单调子列. （17分）
【点睛】思路点睛：本题主要考查“新定义”数列，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，用反证法来请明新结论，这样有助于对新定义的透彻理解.
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
B
C
A
B
C
9
10
11
ABD
ACD
BCD