04（新高考Ⅰ卷专用）-2025年高考数学模拟卷

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．4 13．4 14．1
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）
【解】（1），
由正弦定理得：， ………………………2分
整理得：， ………………………3分
∵在中，，
∴，
即， ………………………4分
∴，
即； ………………………5分
（2）由余弦定理得：， ………………………7分
∴， ………………………8分
∵，
∴， ………………………10分
∴，
∴， ………………………12分
∴的周长为. ………………………13分
16．(本小题满分15分）
【解】（1）由焦点为得 ………………………1分
又离心率，得到， ………………………2分
所以， ………………………3分
所以椭圆C的方程为. ………………………4分
（2）设
联立，消y得， ……………………5分
，得到，
由韦达定理得，，， ……………………7分
又因为， ………………………9分
又原点到直线的距离为， ………………………10分
所以，………………13分
所以，所以，即，满足， ……………………14分
所以直线l的方程为. ……………………15分
17．(本小题满分15分）
【解】（1）∵平面，平面，∴， …………………1分
∵是圆的直径，∴， ………………………2分
∵，、平面，
∴平面， ………………………4分
∵平面，∴平面平面； ……………………5分
（2）法一：如图，建立空间直角坐标系，
则， ………………………7分
， ………………………8分
设平面的法向量，
则有，令，得，………………………10分
设平面的法向量，
则有，
令，得， ………………………12分
则，，
二面角的正弦值为. ……………………15分
法二：作于，作于，连接， ……………………6分
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面， ……………………7分
∵平面，∴，
又∵，、平面，∴平面，………………………8分
∵平面，∴，
∴为二面角的平面角， ………………………10分
， ………………………11分
∵平面，平面，
∴，，
∵平面，平面，∴，
， …………………13分
则，
二面角的正弦值为. ……………………15分
18．(本小题满分17分）
【解】（1）因为，
则对任意恒成立， ………………………1分
可知在内单调递减， ……………………2分
则， ………………………3分
所以当时，. ……………………4分
（2）因为，
则， ………………………5分
令，
则对任意恒成立 ， ………………………6分
可知在内单调递增，
则， ………………………7分
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意； ………………………8分
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；
当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增， ………………………10分
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为. ………………………11分
（3）令，
则， ………………………12分
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得， ………………………14分
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意； ……………16分
综上所述：实数的取值范围为. ……………………17分
19．(本小题满分17分）
【解】（1）由题意知，数列为：. ……………………1分
由，不是数列中的项， ………………………3分
故数列不是“乘法封闭数列”； ………………………4分
（2）由题意数列递增可知，
则，且， ………………………5分
又数列为“除法封闭数列”，
则都是数列中的项， ………………………7分
所以，即①；
且，即②，
联立①②解得，； ………………………9分
（3）数列是等比数列 ………………………10分
证明：当时，设数列为，
由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”， ………………………12分
则这个数都是数列中的项，
所以有，
则有，③；
同理由，可得，
则有，即④；
由③④可得，，故是等比数列. ………………………14分
当时，由题意数列递增可知，
则有， ………………………15分
由数列为“除法封闭数列”，则这个数都是数列中的项.
所以有.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以.
则，即⑥，
联立⑤⑥得，，
则，所以有，
所以，故数列是等比数列.
综上所述，数列是等比数列. ………………………17分
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
B
C
B
D
C
9
10
11
BC
ABD
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