04（新高考Ⅱ卷专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．16 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）
【解】（1）因为，
由正弦定理得. ………………………1分
因为，所以，所以， ………………………2分
即. ………………………4分
因为，所以，即. ………………………5分
（2）设，因为，所以. ………………………6分
因为，所以，，，
在中，由正弦定理可知， ………………………8分
即，
即， ………………………10分
化简可得，即，,
所以. ………………………13分
16．（本小题满分15分）
【解】（1）当时，函数，
求导得，则，而， ………………………2分
所以曲线在点处的切线方程为，
即. ………………………4分
（2）函数的定义域为，
求导得， ………………………5分
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意； ………7分
当时，由，得或， ………………………8分
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ………………………10分
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ………………………12分
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意， ………………………14分
所以的取值范围为. ………………………15分
17．（本小题满分15分）
【解】（1）因为点为线段的中点，且，
所以， ………………………1分
因为，且四边形为正方形，故， ………………………2分
所以，而平面，
故平面， ………………………3分
又平面，所以； ………………………4分
（2）设正方形的中心为，分别取的中点为，
设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面，
连接，平面，故，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由题意可知四边形为等腰梯形，故，
平面，故平面， ………………………5分
故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，

因为，则， ………………………6分
又，故，
设到底面的距离为，
四边形，为两个全等的等腰梯形，且，
故，又，
故，则，
，
设， ………………………7分
设平面的一个法向量为，
则，令，， ………………………9分
设平面的一个法向量为，
则，令，， ………………………11分
故， ………………………12分
令，则，
令，则，
令，则在上单调递增，
故当时，，当时，，
故，
即平面和平面的夹角的余弦值得取值范围为． ………………………15分
18．（本小题满分17分）
【解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”，
则； ………………………4分
（2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，
则，，， ………………………7分
所以的分布为：
………………………9分
所以； ………………………11分
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，
由（2）可知，， ………………………12分
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，
则， ………………………13分
则
， ………………………15分
因为，所以，，
所以，即， ………………………16分
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． ………………………17分
19．（本小题满分17分）
【解】（1）的左焦点为，
过的直线与交于，与交于， ………………………2分
故的左焦点为“型点”，且直线可以为； ………………………3分
（2）直线与有交点，则，
若方程组有解，则必须； ………………………5分
直线与有交点，则，
若方程组有解，则必须 ………………………7分
故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点” ………………………8分
（3）以为边界的正方形区域记为.
1）若点在的边界上，则该边所在直线与相切，与有公共部分，
即边界上的点都是“型点”； ………………………9分
2）设是区域内的点，即，
假设是“型点”，
则存在过点的直线与都有公共点. ………………………10分
ⅰ)若直线与有公共点，直线的方程化为，假设，则，
可知直线在之间，与无公共点，这与“直线与有公共点”矛盾，
所以得到：与有公共点的直线的斜率满足. ………………………12分
ⅱ)假设与也有公共点，则方程组有实数解.
从方程组得，
，由， …………14分
因为
所以，， …………………………16分
即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.
证明完毕 …………………………17分
另解： …………………………9分
令，因为，所以|，
即.于是可知的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是， …………12分
因为，
所以在区间上为增函数，在上为减函数. …………………………14分
因为，，
所以对任意，都有， …………………………16分
即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.
证明完毕. ……………………………17分
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2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
D
C
D
A
D
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10
11
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ACD
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