04（上海专用）-2025年高考数学模拟卷

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1．设集合，，则 .
【答案】
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.
【详解】解，得，解得，则，
而不等式，即恒成立，则，
所以.
故答案为：
2．已知，则 ．
【答案】15/0.2
【分析】由诱导公式即可求解.
【详解】，
故答案为：
3．复数（为虚数单位），则 .
【答案】
【分析】先对化简，然后可求出其共轭复数
【详解】，
所以共轭复数是.
故答案为：
4．若，且，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：1
5．学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为 .
【答案】
【分析】根据正态分布的性质结合条件即得.
【详解】因为该次考试的成绩服从正态分布，
且，
所以，所以，
因此该年级数学成绩在分以上的人数约为.
故答案为：
6．若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】因为不等式对任意都成立，则，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
所以，当时，，所以，，
因此，实数的最大值为.
故答案为：.
7．设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 .
【答案】/
【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解.
【详解】点P在曲线上，设，
则点P到直线l的距离为，
当时，.
故答案为：.
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数.
【详解】由题意可知，因为点F在BE上，
所以，
所以，所以，所以.
故答案为：
9．一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，他任意按最后一位数字，则不超过2次就按对的概率为 ．
【答案】15/0.2
【分析】分第一次按对和第二次才按对，结合概率公式求解即可.
【详解】“第1次按对”为事件，“第2次按对”为事件.
则不超过2次就按对的概率为
.
故答案为：.
10．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大
【答案】
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题知，
因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，
因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大，
又，，
设，，由正弦定理，得，
当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大，
故答案为：
11．设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围．
【详解】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点，
所以半径，即，且．
所以，
由于，令，则，则
．
由于函数在上单调递减，
故在上单调递减，
故，即，满足，符合题意．
所以椭圆离心率的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数，结合对勾函数的性质即可.
12．已知函数 y=fx的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 .
【答案】
【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值．
【详解】当时，，函数关于直线对称，
画出函数的图象，如图所示
，方程有四个不相等的实根，
函数与有4个交点，
由函数的图象可知，
即的取值范围为：，
由函数的图象可知：，，且，，
，，，，
令，，，设，则，，
根据对勾函数单调性其单调递增，则，
又，
设，，对称轴为，则
即，即范围为
故答案为：．
【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．已知数据，，…，（，）是上海普通职工n个人的年收入，这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变；
B．年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大；
C．年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变；
D．年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变.
【答案】B
【分析】由于数据，，，，是上海普通职工个人的年收入，如果再加上世界首富的年收入，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入后，数据的变化特征，易得到答案．
【详解】数据，，，，是上海普通职工个人的年收入，
而为世界首富的年收入,
则会远大于，，，，，
故这个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程度也受到比较大的影响，而更加离散，则方差变大
故选：B
14．若直线与直线平行，则（ ）
A．B．0C．1D．1或
【答案】C
【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可求解.
【详解】直线与直线平行，
故，解得，
故选：C
15．的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可.
【详解】因为，所以，
即，所以，
因为，所以，
故选：B
16．若无穷数列满足：，当，时，（其中表示，，，中的最大项），有以下结论：
①若数列是常数列，则；
②若数列是等差数列，则公差；
③若数列是等比数列，则公比；
④若存在正整数，对任意，，都有，则是数列的最大项.
则其中的正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据所给定义得到，即可判断①；结合等差数列的定义推导出有最大值，则不可能递增，即可判断②；求出公比，即可判断③；结合周期数列及所给定义判断④.
【详解】对于①：若数列是常数列，则，所以（），故①正确；
②若数列是等差数列，则，所以有最大值，因此不可能递增，所以，故②错误；
③若数列是公比为的等比数列，则，且，
所以，所以或，又因为，所以，所以，故③正确；
④若存在正整数，对任意，，都有，
假设在中最大，则中都是最大，则且，
即，所以，所以是数列的最大项，故④正确.
所以正确的有①③④，共个.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，再结合等差、等比数列的通项公式一一判断.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设等差数列的公差为，其前项和为，且满足.
(1)求的值；
(2)当为何值时最大，并求出此最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可；
（2）求出，用二次函数知识来解题即可．
【详解】（1），则，，
故的值为.
（2）由（1）知道，，，
，
由于开口向下，且对称轴为.
而，则或者时，最大.
．
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图．
(1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，
①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量
②求抽到的一级果个数的数学期望；
(2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？
【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②；
(2)当时，最大
【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量；
②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望；
（2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大.
【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为，
故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个；
②的可能取值为，
故，，，
，
故
（2）一级果的频率为，
用频率代替概率，故，
故，
令，
故，
解得，
又，故，
故当时，最大.
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点．
(1)证明：平面．
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据法向量与向量垂直，即可判断线面平行；
（2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）证明：直三棱柱中，，
以为顶点建立空间坐标系如图，
，，
点，分别为与的中点，
取中点，
，，，
在△中，，
平面，且，平面，
平面，，且，平面，
平面，
为平面的一个法向量，
而，，
，
，
又平面，
平面；
（2）易知，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，
，
取，则，，
即，
设与平面所成角为，
则
故与平面所成角的正弦值为．
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知椭圆常数，点为坐标原点．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
(3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算；
（2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可；
（3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值.
【详解】（1）由椭圆方程为，
则离心率，
又
所以；
（2）由已知得
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得
（3）法一：由已知可得，即，
平方可得，
又在椭圆上，
所以，
所以，
化简可得
设与的夹角为，
则，则，
所以的面积
，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，则，
又在椭圆上，
则，所以，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，
得，
则，
，
则，即，
所以
，
点到直线的距离d=t1+k2，
所以，
所以的面积为定值．
【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可.
21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，．
(1)求证：为奇函数；
(2)当a变化时，求函数不动点个数；
(3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论；
（2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案；
（3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1），故，
其中，则，
其中定义域为R，故为奇函数，
（2）由得，令，则
令，解得，令ℎ'x