02（上海专用）-2025年高考数学模拟卷

这是一份02（上海专用）-2025年高考数学模拟卷，文件包含02上海专用-2025年高考数学模拟卷解析版docx、02上海专用-2025年高考数学模拟卷参考答案docx、02上海专用-2025年高考数学模拟卷考试版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若集合，或，则 ．
【答案】/
【分析】根据交运算，结合已知集合，直接求解即可.
【解析】根据题意，.
故答案为：.
2．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】利用真数大于零列不等式求解即可.
【解析】要使函数有意义，
则，解得，
即函数的定义域是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于基础题.
3．若单位向量、满足，则 ．
【答案】
【分析】依题意可得，根据及数量积的运算律计算可得.
【解析】因为单位向量、满足，
所以，
所以
.
故答案为：
4．已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【答案】4
【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.
【解析】，当，即，时等号成立，
则的最小值为4．
故答案为：4．
5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.
6．设函数，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【解析】由题意知，；
当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．
所以实数的值是：．
故答案为：.
7．某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为 .
【答案】
【解析】先由分层抽样抽样比求种型号抽取件数，以及，再根据古典概型公式求概率.
【解析】设种型号抽取件，所以，解得：，，
从样本中抽取2件，含有型号产品的概率.
故答案为：
8．已知，则 ．
【答案】21
【分析】先将变形为的形式，再应用二项式定理求解即可.
【解析】，
由二项式定理得：，
所以.
故答案为：.
9．若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数性质判定值域即可.
【解析】原方程
等价于
即函数，在上有交点，
∵，∴，，故，
则.
故答案为：
10．过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 .
【答案】4
【分析】作于点，与轴交于点，借助相似三角形的性质可得，，再结合所给数据与抛物线定义计算即可得解.
【解析】作于点，与轴交于点，如图，
则，
又且是的中点，则有，
即，又，故，
又，，，
故，即，则.
故答案为：4
11．如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当 时，栈道EG最短.
【答案】33/133
【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值.
【解析】由題意，，
设，则.
在中，得，
则.
由于，解得.
令，，则.
令，则，
当时，严格递增；
当时，严格递减；
所以，有最大值，则.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：关键是要弄清楚图形的关系，运用平面几何知识表示出四边形的面积，再利用换元法特别注意换元后的范围，转化为用导数法求函数的最值问题，进而可以求解.
12．已知､与､是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为 .
【答案】
【解析】将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于的方程，也即是函数和的图像的交点问题.画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证法去证明.设点，，，，借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不等式的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终得出集合只能有1个元素.
【解析】转化为和图像交点，
为了简化问题，我们可以研究，
，
设，，
设，，，，
①由图像易知，1个交点容易得到，
如时，可求得唯一一个交点为

而0个交点和2个交点都是不可能的.
②假设有0个交点，
由题意，，
∴，，
∴，
而由三角不等式，，
故矛盾，∴不可能有0个交点；
③假设有2个交点，
，，
∴，，
∴ ，明显矛盾，
∴不可能有2个交点.
其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.
综上所述，解集不是无限集时，集合的元素个数只有1个.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先解不等式，再结合充分、必要条件的概念即可判断.
【解析】由可得或，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
14．下列说法不正确的是（ ）．
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
D．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
【答案】A
【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D.
【解析】对A：因为，所以第百分位数为,A错误；
对B：若随机变量服从正态分布，且，
则，
则，B正确；
对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确.
故选：A
15．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．与垂直B．与平面垂直
C．与平行D．与平面平行
【答案】C
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可.
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则
，
对于A，，
则，所以，故A正确；
对于B，，则，所以，
又平面，
所以平面，故B正确；
对于C，，
若与平行，则存在唯一实数使得，
所以，无解，
所以与不平行，故C错误；
对于D，，
设平面的法向量，
则有，可取，
因为，且平面，
所以平面，故D正确.
故选：C.
16．已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①､②都是真命题D．①､②都是假命题
【答案】C
【分析】对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解.
【解析】对于①：因为，
若该数列为“弱减数列”，
因为，则，
可得，即，
同理可得，所以；
当时，，
所以该数列为“弱减数列”；
综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题；
对于②：因为，显然，
若存在使得数列为“2阶弱减数列”，
则，即，整理得，
所以对一切正整数恒成立，
若，当时，当，则；
当为奇数，；
可知不合题意，所以，
则，
当时，
则，
可得，不合题意；
若，取，则，符合题意；
若，则，则，
取，则，符合题意；
综上所述：存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．故②是真命题.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题时，可以通过举例或转化法理解新定义，进而根据新定义分析求解.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，某多面体的底面为正方形， ∥，，，， ．
(1)求四棱锥的体积；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定棱锥的底面积和高，利用公式直接求体积；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决问题.
【解析】解：（1）因为 ，//，所以，
因为，， 所以平面．
．
（2）因为四边形为正方形，所以，又，．
所以如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，则，即.
令，则，．于是．所以，平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，所以．
所以，二面角的平面角的正弦值为．
18．已知函数，，，，，且方程有且仅有一个实数解；
（1）求、的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）根据题意，直接代入，同时考虑有且仅有一个实数解，故可求出、的值；（2）当时，原不等式恒成立，可转化为，讨论的取值范围即可得出结论.
【解析】解：（1）∵，且；
∴，即；
又只有一个实数解；
∴有且仅有一个实数解为0；
∴，；
∴.
（2）∵；
∴；
∴恒成立；
当时，即时，
有恒成立，
∴；
当，不合题意.
当，即时，
同理可得；
∴此时不存在.
综上：.
【点睛】本题主要考查了函数求值以及不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想.属于中档题.
19．ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
【答案】(1)；
(2)0.9；
(3)小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81.
【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案；
（3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；
【解析】（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，
则，
；
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，
且，，
设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，
则，，
，
.
20．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
【答案】(1)与
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设的方程分别为与，将点的坐标代入的方程可求出，利用椭圆的定义可求出的值，从而可得，进而可得的方程；
（2）分点在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点的坐标；
（3）利用两点的斜率公式及点在上即可证明，设的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示，化简为常数，即可得出答案.
【解析】（1）设的方程分别为与，
由，得，故的坐标分别为，
所以故，
故与的方程分别为与.
（2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，
可知，故，
设点坐标为，可知且，
解得，故点的坐标为，
（3）设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为，
则，
的方程为，
代入可得，
故，
所以，
同理可得，又，故，
故，
即，所以存在，使得.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．
【答案】(1)为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案；
（2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；
（3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解.
【解析】（1）解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为，
可得，解得或(舍).
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”.
（2）解：设为该函数的“均值点”，则，
且，
即关于的方程在区间上有解，
整理得，
①当时，，方程无解.
②当时，可得.
令，则，且，
可得，
又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
所以当时，可得，当，可得，
所以.
即实数的取值范围是.
（3）解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”，
可得，即，
解得，所以，
则，
当时，，即在上单调递减，
所以()，
则，
又因为，
从而，，
所以，可得.，
由，即，可得，
故使得的最小整数的值为.
【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略：
（1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键；
（2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力.