01（上海专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。
1、 2、 23、
4、 5、 6、 15/
7、8、1.9、
10、11、 12、
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面平行的判定定理与性质定理证明，
（2）由棱柱的体积公式求解高，再由二面角的定义求解，
【详解】（1）由题意得，，
平面，平面，
平面，平面
而，平面平面，
又平面平面
（2）四棱柱体积，
得，得，
过点作，垂足为，连接，
由平面，得（三垂线定理），
故即为二面角的平面角，
，得，
故，

18、【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数运算性质可得，即可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，
（2）利用作差法可得对正整数恒成立，即可求解.
【详解】（1）由，得，故，即.
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
从而，.所以.
（2）设数列满足，
因为数列为严格增数列，
故对正整数恒成立，
即对正整数恒成立，
当时，取到最小值.所以.
19、【答案】(1)；
(2)0.9；
(3)小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81.
【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案；
（3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；
【详解】（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，
则，
；
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，
且，，
设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，
则，，
，
.
20、【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义即可得到的周长为，从而得到结果；
（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，联立直线的方程与椭圆方程，代入计算，即可得到点的坐标，同理可得点的坐标，然后表示出，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）为椭圆的两焦点，且为椭圆上的点，
，从而的周长为．
由题意，得，即的周长为．
（2）由题意可设过的直线方程为
联立，消去得，
因为直线所过定点在椭圆内，则直线与椭圆必有两交点，
则，
所以，
令，
则（当时等号成立，即时）
所以，
故面积的取值范围为．
（3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，
整理可得
则，得，
故．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得
，
同理，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
若轴时，易知，
此时，
综上，的最大值为．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合三角形的面积公式代入计算.
21、【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）取反例即可证明；
（2）若该函数是“增函数”，设出任意的，，则有恒成立，运算即可得；
（3）借助导数的几何意义，对该函数求导后令导函数值为1，可得该方程有根，且是其中一个根，结合导数可证明该函数为严格增函数，故有且仅有一个根，即可得的值，而后设出，结合前面得出的在上是严格增函数，可得在上是严格增函数，又，则，即可得证.
【详解】（1）取，则，因为，
故函数不是“增函数”；
（2）因为函数是“增函数”，故任意的，，
有恒成立，
即恒成立 ，
所以恒成立，
又，，故，则，
则，即；
（3）记，
根据题意，得，
可得方程的一个解，
令，
则，令，
则， 故在上是严格增函数，
又因为，故在恒成立，故，
故在上是严格增函数，所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，
故成立；
设，其中，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即 ，
所以在上是严格增函数，
因为，则,故，即得证.
【点睛】本题考查函数新定义，理解新定义是关键，难点在最后一问中的的计算与“增函数”的证明，需要多次求导以得到函数的单调性，结合导数的几何意义帮助计算的值，证明为“增函数”要结合对新定义的理解，设出函数以帮助证明.
13
14
15
16
A
D
C
B