沪教版高中数学必修二讲义专题02 任意角的正弦 余弦 正切 余切（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
1、正弦、余弦、正切、余切
弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制；
扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，；
单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；
正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有
，，（），（）；
二、考点解读
1、角α的正弦、余弦、正切、余切
一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点距离是r，则r＝eq \r(x2＋y2)；此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点；（如图）则：
（1）比值eq \f(y,r)叫作α的正弦，记作sinα，即sin α＝eq \f(y,r)；
（2）比值eq \f(x,r)叫作α的余弦，记作csα，即cs α＝eq \f(x,r)；
（3）比值eq \f(y,x)(x≠0)叫作α的正切，记作tanα，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)；
（4）比值eq \f(x,y)(y≠0)叫作α的正切，记作ctα，即tan α＝eq \f(x,y)(y≠0)；
【拓展】
（5）比值eq \f(r,x)(x≠0)叫作α的正割，记作secα，即secα＝eq \f(r,x)(x≠0)；
（6）比值eq \f(r,y) (y≠0)叫作α的余弦，记作cscα，即csc α＝eq \f(r,y) (y≠0)；
2、任意角的正切、余切的限制条件
3、任意角的正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”；
4、单位圆
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆；
利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点Pu，v，
则v＝sin α，u＝cs α；也就是点P cs α，sin α
5、单位圆中正弦线、余弦线与正切线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线.
记作：sin α＝MP，cs α＝OM，tan α＝AT.
【说明】有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段；对于有向线段AB，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB.
1、任意角的三角比
在三角比坐标法定义中，设α是一个任意角，取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则r＝|OP|=eq \r(x2＋y2)；
则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)；
若α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)；
【说明】三角比值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是与角对应的比值；
2、正切、余切对角的限制
注意：，其中，，；其中，；
【注意】由三角比的定义可知，对于任意角α，sin α，cs α都有意义．
3、三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
4、三角函数线
可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
题型1、依据角α的终边上任意一点的坐标求三角比值
例1、（1）已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋csα的值为( )
A．－eq \f(3,5) B．eq \f(4,5)
C．eq \f(2,5) D．－eq \f(2,5)
（2）已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cs α的值.
【说明】1、已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
解法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
解法二：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便；
2、当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论；
题型2、会简捷准确求特殊角的三角比值
例2、taneq \f(7π,4)＝( )
A．1 B．eq \r(2) C．－eq \r(3) D．－1
（2）利用任意角三角比定义，求：eq \f(2π,3)的正弦、余弦和正切值；
【说明】先在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角比值；
题型3、已知角的终边位置求三角比
例3、（1）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与射线y＝3x(x≥0)重合，则csθ＝ .
（2）角α的终边在直线y＝－ eq \f(4,3)x上，求sin α，cs α，tan α.
【说明】与三角比值的定义相关的三种题型及解决方法：
1、已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角比值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角比值的定义求解；
2、已知角α的一个三角比值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角比值；
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角比值的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角比值；
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角比值的定义求解；
题型4、三角比值符号的判断问题
例4、（1）若θ是第二象限角，则 eq \f(sin（cs θ）,cs（sin θ）) 0(填“>”“0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角比值符号的关键；
题型5、由三角比值符号确定角的终边
例5、
题型三 三角函数值在各象限的符号
（1）若角θ同时满足sin θ0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin α＋cs α的值为( )
A． eq \f(7,5) B． eq \f(6,5) C． eq \f(\r(5),5) D． eq \f(3\r(5),5)
例12、在平面直角坐标系中， eq \(AB,\s\up14(︵))， eq \(CD,\s\up14(︵))， eq \(EF,\s\up14(︵))， eq \(GH,\s\up14(︵))是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α