沪教版高中数学必修二讲义专题02 向量的数量积（考点解读+考点归纳+10类题型）（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；
【本章教材目录】
第8章 平面向量
8.1 向量的概念和线性运算
8.2 向量的数量积
8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律
8.3 向量的坐标表示
8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示
8.4 向量的应用
【本章内容提要】
1、平面向量的基本概念
（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示.
（2）向量的模：向量的大小，向量的模记为.
（3）零向量：其模为，方向任意.
（4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是.
（5）平行向量：方向相同或相反的向量.
（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.
（7）负向量：方向相反、模相等的向量.
2、向量的线性运算
（1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则.
（2）减去一个向量等于加上它的负向量．
（3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作.
（4）设、、是平面上的任意向量，、
向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：.
实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；.
3、向量的投影与数量积
（1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值.
（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.
其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影.
（3）向量与的数量积定义为：.
（4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）.
4、平面向量基本定理与向量的坐标表示
（1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基.
（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合.
（3）给定平面上两点与，则.
5、坐标表示下的向量运算
设向量，，则
（1）.
（2）.
（3），.
（4）.
6、向量的夹角、平行与垂直
设向量，，则
（1）.
（2）（）或（）.
（3）.
7、向量的应用
要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决.
1、投影向量与数量投影
（1）向量的夹角：已知两个非零向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角；记作〈eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))〉；
【说明】1、当θ＝〈eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))〉=0时，eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))同向；当θ＝π时，eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))反向；
2、垂直：如果eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角是eq \f(π,2)，我们说eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))垂直，记作eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))；
（2）向量eq \(a,\s\up6(→))在向量eq \(b,\s\up6(→))的方向上的投影向量：
设，是两个非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，
eq \(AB,\s\up6(→))＝，eq \(CD,\s\up6(→))＝，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，
垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，
我们称上述变换为向量在向量方向上的投影向量，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量在向量上的投影向量；
记为|
【说明】（1）向量eq \(a,\s\up6(→))在向量eq \(b,\s\up6(→))上的投影向量是与向量eq \(b,\s\up6(→))平行的向量；
（2）如果向量eq \(a,\s\up6(→))与向量eq \(b,\s\up6(→))平行或垂直，向量eq \(a,\s\up6(→))在向量eq \(b,\s\up6(→))上的投影向量具有特殊性；
（3）由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果；
（3）、向量在向量的方向上的数量投影；
其中就是向量在向量的方向上的数量投影；
2、向量的数量积及运算律
（1）向量的数量积
已知两个非零向量eq \(a,\s\up6(→))和eq \(b,\s\up6(→))，它们的夹角是θ，我们把数量|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|cs θ叫做向量eq \(a,\s\up6(→))和eq \(b,\s\up6(→))的数量积(或内积)，
记作eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))，即eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|·|eq \(b,\s\up6(→))|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2）向量的数量积的运算律
向量数量积的运算律：已知向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))和实数λ；
（1）eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))；
（2）(λeq \(a,\s\up6(→)))·eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))·(λeq \(b,\s\up6(→)))＝λ(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)))＝λeq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))；
（3）( eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))·eq \(c,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→));
3、向量数量积的性质及其应用
数量积的性质：
设eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))是非零向量，它们的夹角是θ，eq \(e,\s\up6(→))是与eq \(b,\s\up6(→))方向相同的单位向量，则
（1）eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|2或|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(eq \(a,\s\up6(→))2)；
（2）|eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))|≤|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|；
（3）eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))⇒eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝0；
（4）eq \(a,\s\up6(→))·eq \(e,\s\up6(→))＝eq \(e,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|cs θ.
（5）当eq \(a,\s\up6(→))∥eq \(b,\s\up6(→))时，eq \(a,\s\up6(→))·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|，eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))同向，,－|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|，eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))反向.))特别地，eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|2或|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→)))；
（6）|eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))|≤|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))b|；
（7）cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)；
【说明】1、数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．
2、向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
3、eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝0不能推出eq \(a,\s\up6(→))和eq \(b,\s\up6(→))中至少有一个零向量．
4、|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→)))是求向量的长度的工具．
5、区分0·eq \(a,\s\up6(→))＝0与0·eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→)).
6、eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))>0是eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为锐角的必要不充分条件；eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))