沪教版高中数学必修二讲义专题03 向量的坐标表示（考点解读+考点归纳+10类题型）（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；
【本章教材目录】
第8章 平面向量
8.1 向量的概念和线性运算
8.2 向量的数量积
8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律
8.3 向量的坐标表示
8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示
8.4 向量的应用
【本章内容提要】
1、平面向量的基本概念
（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示.
（2）向量的模：向量的大小，向量的模记为.
（3）零向量：其模为，方向任意.
（4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是.
（5）平行向量：方向相同或相反的向量.
（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.
（7）负向量：方向相反、模相等的向量.
2、向量的线性运算
（1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则.
（2）减去一个向量等于加上它的负向量．
（3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作.
（4）设、、是平面上的任意向量，、
向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：.
实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；.
3. 向量的投影与数量积
（1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值.
（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.
其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影.
（3）向量与的数量积定义为：.
（4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）.
4、平面向量基本定理与向量的坐标表示
（1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基.
（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合.
（3）给定平面上两点与，则.
5、坐标表示下的向量运算
设向量，，则
（1）.
（2）.
（3），.
（4）.
6、向量的夹角、平行与垂直
设向量，，则
（1）.
（2）（）或（）.
（3）.
7、向量的应用
要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决.
1、平面向量基本定理
【说明】（1）同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可；
（2）当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的；
2、平面向量的正交分解
把向量eq \(a,\s\up6(→))写成所在平面上两个不平行向量eq \(e,\s\up6(→))1与eq \(e,\s\up6(→))2的线性组合的过程称为eq \(a,\s\up6(→))关于eq \(e,\s\up6(→))1与eq \(e,\s\up6(→))2的分解；
我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况，即在eq \(e,\s\up6(→))1eq \(e,\s\up6(→))2的情况下进行向量的分解；这种分解称为向量的正交分解；
3、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中任意一个向量关于轴与轴正方向上的单位向量与的分解就是一个正交分解；这个正交分解称为向量在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对则称为向量的坐标，并直接表示成；向量的这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标代表一个向量；
【说明】（1）每个向量都有唯一的坐标，相等的向量坐标相同；
（2）点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，eq \(a,\s\up6(→))＝(x，y)；
（3）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；
（4）特殊向量的坐标：eq \(i,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(j,\s\up6(→))＝(0，1)，eq \(0,\s\up6(→))＝(0，0)；
4、位置向量
必须注意，在向量的坐标表示中，我们先要作出从坐标原点出发的向量，才能用点的坐标表示向量的坐标．为此， 我们把向量称为的位置向量；位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标；
5、平面向量线性运算的坐标表示
平面向量的线性运算的坐标运算
设向量eq \(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
6、平面向量线数量积与夹角的坐标表示
（1）已知两个非零向量eq \(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，则eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2.
（2）平面向量坐标表示的几个公式
①向量模的坐标公式：若eq \(a,\s\up6(→))＝(x，y)，则|eq \(a,\s\up6(→))|2＝x2＋y2，或|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2).
②两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
③两向量夹角的余弦公式：设eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))是两个非零向量，eq \(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，θ是eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角，
则cs θ＝eq \f(eq \(a，\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
【特别提醒】①θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；②θ为钝角或θ＝π⇔x1x2＋y1y2