沪教版高中数学必修二讲义专题04 单位圆与三角函数线的应用（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
1、正弦、余弦、正切、余切
单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；
正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有
，，（），（）；
二、考点解读
1、单位圆；
半径为1的圆；
在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆；
2、单位圆与三角比值的交汇
如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，
始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，
则sin α＝v，cs α＝u，tan α＝eq \f(v,u)(u≠0)．
【说明】单位圆在高一数学中的应用主要体现在三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识；用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础；
3、有向线段
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；
4、三角函数线
【答案】
1、单位圆
在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆；
2、三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线.
记作：sin α＝MP，cs α＝OM，tan α＝AT.
【注意】三角函数线的方向是怎样确定的？
【解析】三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正；
题型1、对单位圆与任意角三角比值的理解
例1、（1）3．设a0的解集是
5、若角α的正弦线的长度为eq \f(1,2)，且方向与y轴的正方向相反，则sin α的值为 ．
6、函数y＝lg(sin x－csx)的定义域为 ．
7、已知角α(0＜α＜2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(5π,4) D．eq \f(3π,4)或eq \f(7π,4)
8、下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2D．3
9、已知点P(tan α，sin α－csα)在第一象限，且0≤α≤2π，求：角α的取值范围；
10、设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式.
（1）sin2α＋cs2α＝1；（2）tan α＝eq \f(sin α,cs α).
如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？