沪教版高中数学必修二讲义专题09 解三角形（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
3、解三角形
正弦定理：；
余弦定理：，，；
三角形面积公式：；
二、考点解读
1、正弦定理
三角形的各边和它所对角的正弦之比相等；即eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)；
【说明】1、注意：正弦定理的适用范围是什么？
【解析】正弦定理对任意三角形都成立；
2、理解在△ABC中，eq \f(a,sin A)、eq \f(b,sin B)、eq \f(c,sin C)各自等于什么？
【解析】eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为三角形的外接圆半径)．
2、解斜三角形
（1）解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程；
（2）利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题：
①已知两角与任一边，求其他两边和一角；
②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
【说明】理解正弦定理的主要功能是什么？
【解析】正弦定理实现了三角形中边角关系的转化；
3、正弦定理扩充及其变形
（1）扩充定理内容：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为外接圆半径)．
（2）正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
②eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
③a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
④sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
【说明】在△ABC中，已知acs B＝bcs A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
【解析】可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acs B＝2Rsin Bcs A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acs B－cs Asin B＝0.
4、对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明
5、三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
（1）S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半；
（2）S△ABC＝eq \f(1,2)ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长；
（3）S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq \f(1,2)rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长；
6、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bccs_A，
b2＝c2＋a2－2cacs_B，
c2＝a2＋b2－2abcs_C.
【说明】1、根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcs C．①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
【解析】当a＝b＝c时，C＝60°，
7、余弦定理的变形
（1）余弦定理的变形
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ca)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
（2）余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A