沪教版高中数学必修二第6章 三角（单元基础卷）（原卷版+解析版）

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1．若点是角终边上的一点，则 ．
【分析】根据任意角的三角函数的定义，代入正弦函数的公式：求解即可．
【解答】解：点是角终边上的一点，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．已知，，则角 ．
【分析】由已知结合特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：因为，，
则角．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
3．若，则 ．
【分析】根据条件可得出，然后即可求出的值．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了弦化切公式，考查了计算能力，属于基础题．
4．已知，且是第三象限的角，则 ．
【分析】由两角差的余弦公式可得，进而由同角三角函数的基本关系可得．
【解答】解：，
，即，
是第三象限的角，
，
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．
5．已知，且，则 ．
【分析】根据条件及三角函数的诱导公式得出，然后根据同角三角函数的基本关系得出，然后可求出，根据两角和的正切公式即可求出答案．
【解答】解：，且，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，考查了计算能力，属于基础题．
6．若，则 ．
【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7．已知，则 ．
【分析】原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，
原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
8．若，则的取值范围是 ， ．
【分析】由已知利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．
【解答】解：，
所以，，
所以，
所以，，
所以，，
所以，
则，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了辅助角公式及正弦函数性质的应用，属于基础题．
9．已知，则 ．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的二倍角公式，即可求解．
【解答】解：，
则，解得，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
10．在中，若，则的最大值是 ．
【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解．
【解答】解：结合正弦定理得，即，
所以，
因为，
所以，则的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
11．在中，，，，则角的余弦值是 ．
【分析】由已知结合余弦定理即可直接求解．
【解答】解：由余弦定理得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
12．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的可能取值是 （只需填写一个适合的答案）
【分析】由正弦定理可得，，可得，，即可确定一个的可能取值是．
【解答】解：由已知及正弦定理，可得，
可得，，可得：，．
可得的可能取值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
二．选择题（共4小题）
13．已知顶点在原点的锐角，始边在轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由已知可得为锐角），结合三角函数的同角公式，以及正弦函数的两角差公式，即可求解．
【解答】解：由题意得为锐角），
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的同角公式，以及正弦函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14．已知是第四象限的角，则点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得，，可得答案．
【解答】解：根据题意，是第四象限角，则，，
则点在第二象限，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
15．“，”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由充分必要性条件的判断依次对三角函数值判断即可．
【解答】解：当，时，
；
当时，，而不满足，；
故“，”是“”的充分非必要条件；
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的值及充分必要性条件判断，属于基础题．
16．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【分析】由已知可得 ，进而可令，则，，由余弦定理可求结论．
【解答】解：设的内角，，的对边分别是，，，且，，边上的高分别为 ，，则 ，
令，则，，所以，所以为钝角，又，所以该三角形是钝角三角形．
故选：．
【点评】本题考查余弦定理，考查三角形的面积，属中档题．
三．解答题（共5小题）
17．已知，，，．
求：（1）的值；
（2）的值．
【分析】（1）首先求出和的余弦值和正弦值，再求出，最后求出即可；
（2）利用（1）的结论，求出和，再求出即可．
【解答】解：（1）因为，，，．
则，
，
因为，，所以，
所以
，
所以；
（2）由（1）得，，
所以
．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数的基本关系，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．（1）已知，求的值；
（2）证明恒等式：．
【分析】（1）直接把已知等式两边平方求解的值；
（2）把等式左边分子展开两角和的正弦，即可证明结论．
【解答】解：（1）由，两边平方得，
；
证明：（2）．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角恒等变换的应用，是基础题．
19．已知三个内角、、对应边分别为、、，，．
（1）若，求的面积；
（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
（2）由已知在中，利用余弦定理可得，解得的值，可求，在中，由余弦定理可得的值，进而利用正弦定理可得外接圆半径的值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以的面积．
（2）因为线段的中点为，若，
在中，由余弦定理可得，整理可得，解得或（舍去），
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以由正弦定理可得外接圆半径．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．已知中，角，，的对边分别为，，，若，．
（1）求角；
（2）若点在边上，且满足，当的面积最大时，求的长．
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，即可求出角；
（2）由余弦定理结合均值不等式可得，可求出当的面积最大值时，再由余弦定理即可求出的长．
【解答】解：（1）依题意，，
由正弦定理可得，
，
所以，
则，因为，，
化简得，
，；
解：（2）由余弦定理得，
，，当且仅当时，等号成立．
此时．
若的面积取到最大，则，为等边三角形，
，由余弦定理得，
．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
21．如图，甲船在距离港口24海里并在南偏西方向的处驻留等候进港，乙船在港口南偏东方向的处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．
（1）求的正弦值；
（2）当乙船行驶20海里到达处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离．
【分析】（1）首先由正弦定理求得正弦值，然后结合大边对大角即可确定的大小；
（2）首先利用（1）的解利用同角三角函数基本关系求得的大小，然后结合余弦定理即可求得甲乙两船之间的距离．
【解答】解：（1）根据题意知，，，，
在中，由正弦定理得，．
解得；
（2），
在中，由余弦定理得，（海里），
所以，此时甲、乙两船之间的距离为21海里．
【点评】本题主要考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，解三角形的实际应用等知识，属中等题．