沪教版高中数学必修二讲义专题07 二倍角公式及其相关（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
倍角公式：
，
，
；
二、考点解读
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）公式S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
（3）公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)；
【说明】1、倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角等等；
2、公式的变形与应用
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).
（2）升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
2、半角公式
sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2)).
cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2)).
taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))(无理形式).
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)(有理形式).
【说明】半角公式中的符号的确定：
（1）当给出角α的具体范围时，先求eq \f(α,2)的范围，然后根据eq \f(α,2)范围确定符号；
（2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号；
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2、半角公式；
3、三角变换的灵活应用；
题型1、结合二倍角公式给角求值
例1、（1）cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为（ ）
A．eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4)
C．eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)
（2）求下列各式的值
①cs 72°cs 36°；②eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
【说明】所给角为非特殊角的三角函数式求值，要结合诱导公式、同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，化为适用二倍角公式的形式，进而求值；
对于给角求值问题，一般有两类：
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式；
题型2、结合二倍角公式给值求值
例2、（1）若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( )
A．eq \f(\r(15),15) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(15),3)
（2）已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α