沪教版高中数学必修二讲义专题03 同角三角比关系式及诱导公式（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
1、正弦、余弦、正切、余切
同角三角公式：，，，；
诱导公式：（），，，；
诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限.
二、考点解读
1、同角三角比值的基本关系式
（1）平方关系： sin2α＋cs2α＝1.
（2）商数关系： tan α＝eq \f(sin α,csα)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
（3）倒数关系：tan αct α＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)， k∈Z)). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ，k∈Z)).
【说明】1、注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立；2、sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
3、注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cs2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝eq \f(sin α,csα)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立；
2、诱导公式
（1）角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系：
cs(α＋k·2π)＝csα；sin(α＋k·2π)＝sinα；tan(α＋k·2π)＝tanα.
（2）角α与－α的三角函数间的关系：
cs(－α)＝csα；sin(－α)＝－sinα；tan(－α)＝－tanα.
（3）角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系：
cs[α＋(2k＋1)π]＝－csα；sin[α＋(2k＋1)π]＝－sinα；tan[a＋(2k＋1)π]＝tanα.
（4）角α＋nπ(n∈Z)的三角函数值
sin(α＋nπ)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－sinα当n为奇数，,sinα当n为偶数；))
cs(α＋nπ)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－csα当n为奇数，,csα当n为偶数；))
tan(α＋nπ)＝tanα(n∈Z)．
（5）角α与α＋eq \f(π,2)的三角函数间的关系：
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sinα；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝csα.；
以－α替代α可得另一组公式：
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(π,2)))＝sinα；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(π,2)))＝csα.
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： eq \(□,\s\up3(01))sin2α＋cs2α＝1．
（2）商数关系：tanα＝ eq \f(sin α,cs α).
【说明】1、平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z).
2、同角三角函数的基本关系式的几种变形
①sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
②sin α＝tan αcs α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
③sin2α＝ eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(tan2α,tan2α＋1)；cs2α＝ eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(1,tan2α＋1).
3、在利用同角三角函数的平方关系时，若需要开方，要特别注意判断符号．
2、各角的终边与角α的终边的关系
将α视为锐角，则－α，π±α，2kπ＋α(k∈Z)的正弦、余弦、正切函数名不变，符号根据象限可以快速得出； eq \f(π,2)±α的三角函数名改变，正弦、余弦互换，符号根据象限得出．
3、诱导公式
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k是偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限；
题型1、已知某个三角比值，求其余三角比值
例1、（1）已知csα＝eq \f(4,5)，且α是第四象限的角，则tanα的值为( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)
C．eq \f(3,4) D．eq \f(4,3)
（2）已知csα＝－eq \f(3,5)，求sin α，tan α的值．
【说明】已知某个三角函数值，求其余三角函数值的步骤：
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；
第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值；
题型2、已知tan α，求关于sin α、csα齐次式的值
例2、（1）已知 eq \f(sinα＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋sinαcsα的值是( )
A． eq \f(3,5) B．－ eq \f(3,5) C．－3 D．3
（2）已知tan α＝3，求下列各式的值：
①eq \f(4sin α－csα,3sin α＋5csα)；
②eq \f(sin2α－2sin αcsα－cs2α,4cs2α－3sin2α)；
③eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α.
【说明】已知tan α，求关于sin α、csα齐次式的值的基本方法；
已知角α的正切值，求由sin α和csα构成的齐次式(次数相同)．
1、形如eq \f(asin α＋bcsα,csin α＋dcsα)的分式，可将分子、分母同时除以csα；形如eq \f(asin2α＋bsin αcsα＋ccs2α,dsin2α＋esin αcsα＋fcs2α)的分式，可将分子、分母同时除以cs2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
形如asin2α＋bsin αcsα＋ccs2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cs2α，转化为形如eq \f(asin2α＋bsin αcsα＋ccs2α,sin2α＋cs2α)的分式求解；
题型3、利用sin α±csα、sin αcsα关系求值
例3、（1）已知sin θ＋cs θ＝ eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ ．
（2）已知sin α＋csα＝－eq \f(1,3)，0＜α＜π.
①②求sin αcsα的值；
②求sin α－csα的值．
【说明】已知sin α±csα，sin αcsα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
①(sin α＋csα)2＝1＋2sin αcsα；②(sin α－csα)2＝1－2sin αcsα；
③(sin α＋csα)2＋(sin α－csα)2＝2；④(sin α－csα)2＝(sin α＋csα)2－4sin αcsα.
题型4、有关三角比值的化简
例4、化简：
（1）cs6α＋sin6α＋3sin2αcs2α；
（2）eq \r(\f(1＋csα,1－csα))＋ eq \r(\f(1－csα,1＋csα))(180°＜α＜270°)．
【说明】严格三角比值的化简技巧：
1、化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
2、对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
3、对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的；
题型5、三角恒等式的证明
例5、证明下列三角恒等式：
（1）eq \f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq \f(tanα＋sinα,tanαsinα)；
（2）eq \f(2sinxcsx,(sinx＋csx－1)(sinx－csx＋1))＝eq \f(1＋csx,sinx).
【说明】证明三角恒等式的基本方法；三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
1、从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
2、左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
3、化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；
4、变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等；
5、比较法，即设法证明“左边－右边”＝0或“eq \f(左边,右边)＝1”；
题型6、利用诱导公式化简求值
例6、（1）eq \r(1＋2sin(2π－2)cs(2π－2))等于( )
A．sin2＋cs2 B.cs2－sin2
C．－sin2－cs2 D.sin2－cs2
（2）已知csα＝eq \f(1,3)，且－eq \f(π,2)＜α＜0，求：eq \f(tan(－α－π)·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))·tan(－α))的值．
题型7、诱导公式的巧用
例7、（1）已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))的值是 ．
（2）化简 eq \f(sin （nπ＋α）cs （nπ－α）,cs [（n＋1）π－α])(n∈Z)的结果为 ．
【说明】1、将角合理转化的流程，
任意负，角的三角比值；
2、即①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
题型8、同角三角比值关系式和诱导公式的综合应用
例8、（1）已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A． eq \f(3\r(5),5) B． eq \f(3\r(7),7) C． eq \f(3\r(10),10) D． eq \f(1,3)
（2）已知－π