沪教版高中数学必修二讲义专题06 两角和与差的正弦 余弦 正切（原卷版+解析版）

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通过两角和与差的正弦、正切公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养；借助两角和与差的余弦、正弦、正切公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养；
一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
2、常用三角公式
和角与差角公式：
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二、考点解读
1、两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ.
Cα－β：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ.
【说明】思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？
【解析】依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝eq \f(y,1)，cs α＝eq \f(x,1)，所以x＝cs α，y＝sin α，即点P坐标为(cs α，sin α)．；
思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？
【解析】对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．
2、两角和与差的正弦公式
Sα＋β：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ.
Sα－β：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ.
3、辅助角公式
y＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).
4、两角和的正切公式
Tα＋β：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) .
Tα－β：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) .
【说明】思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？
【解析】 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；
(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
两角和角与差角的正弦、余弦、正切公式：
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题型1、利用两角和与差的余弦公式化简求值
例7、化简下列各式：
（1）cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
【提示】注意：利用诱导公式，两角差的余弦公式求解；
【解析】原式＝cs[θ＋21°－(θ－24°)]＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，所以原式＝eq \f(\r(2),2)；
（2）求sin 157°cs 67°＋cs 23°sin 67°的值；
【解析】原式＝sin(180°－23°)cs 67°＋cs 23°sin 67°
＝sin 23°cs 67°＋cs 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.
（3）求eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)的值；
【解析】原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝eq \r(3)；
【说明】1、在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体；
2、在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
题型2、注意“变角”利用公式化简求值
例2、（1）sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))；
【提示】对于非特殊角的三角比值代数式化简应转化为特殊角的三角比值．
【解析】原式＝sin xcs eq \f(π,3)＋cs xsin eq \f(π,3)＋2sin xcs eq \f(π,3)－2cs xsin eq \f(π,3)－eq \r(3)cs eq \f(2π,3)cs x－eq \r(3)sin eq \f(2π,3)sin x
＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋sin x－eq \r(3)cs x＋eq \f(\r(3),2)cs x－eq \f(3,2)sin x
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))cs x＝0.
（2）求sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)的值．
【提示】对于非特殊角的三角比值代数式化简应转化为特殊角的三角比值．
【解析】sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cs(θ＋15°＋30°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cs 60°＋cs(θ＋15°)sin 60°＋cs(θ＋15°)·cs 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝eq \f(1,2)sin(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)－eq \f(1,2)sin(θ＋15°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)＝0；
【说明】1、对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：（1）化为特殊角的三角函数值；（2）化为正负相消的项，消去，求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分再求值；
2、在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换；
题型3、利用公式给值(式)求值
例3、（1）已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
【提示】应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的三角比值；
【解析】因为sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－eq \f(4,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(3,4)，
故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(3,4)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×1)＝eq \f(1,7)；
（2）已知α，β为锐角，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，cs(2α＋β)＝eq \f(3,5)，求cs α的值．
【提示】可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cs α；
【解析】因为α，β为锐角，所以0