沪教版高中数学必修二讲义专题04 正切函数的图像与性质（原卷版+解析版）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
第7章 三角函数
7.1 正弦函数的图像与性质
7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质；
7.2 余弦函数的图像与性质
7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质
7.3 函数y=Asin(ωx+φ) QUOTE 的图像
7.4 正切函数的图像与性质
7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质；
【本章内容提要】
【附】图像特征
1、正切曲线
正切函数：我们已经知道，对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，按照这个对应法则所建立的函数，叫做正切函数；表示为；
正切曲线：再根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右平移，得到正切函数，，且的图像，一般地，的函数图像称为正切曲线。
2、正切函数图像的画法
①三点两线法：
作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－1))，(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，1))，两线是直线x＝± eq \f(π,2)为渐近线；
②几何法
利用正切线画出的图像；
3、正切函数的性质
（1）定义域：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；
（2）值域：R；
（3）周期性：函数y＝tanx的周期都是kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为π；
函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝eq \f(π,ω)；
（4）奇偶性：奇函数；
（5）单调性：在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上递增；
（6）零点：（观察正切曲线可以看出）正切函数的零点为
4、正切函数y＝sinx的图像特征
题型1、会用“五点法”作正切型函数的图像
例1、设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).
（1）求函数f(x)的周期、对称中心；
（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图．
【解析】（1）因为f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))，所以ω＝eq \f(1,2)，周期T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π.
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，所以，f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)；
（2）令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，则x＝eq \f(2π,3)，
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,3)，
令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，则x＝－eq \f(π,3)，
所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图像与x轴的一个交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，
在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq \f(π,3)，x＝eq \f(5π,3)，
从而得函数f(x)＝taneq \f(x,2)－eq \f(π,3)在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图（如图）；
【说明】“三点两线法”作正切曲线的简图：
（1） “三点”分别为(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z；
两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)和直线x＝kπ－eq \f(π,2)，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交）
（2）作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可；
题型2、会用“图像变换”作正切相关函数的图像
例2、画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
【解析】由y＝|tan x|得，
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，kπ≤x