沪教版高中数学必修二讲义专题01 正弦函数的图像与性质（原卷版+解析版）（考点解读 考点归纳 10类题型）

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《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
第7章 三角函数
7.1 正弦函数的图像与性质
7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质；
7.2 余弦函数的图像与性质
7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质
7.3 函数y=Asin(ωx+φ) QUOTE 的图像
7.4 正切函数的图像与性质
7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质；
【本章内容提要】
【附】图像特征
1、正弦曲线
正弦函数y＝sinx，x∈R的图像叫正弦曲线；
2、正弦函数图像的画法
（1）几何法：
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图像；
②将图像向左、向右平行移动（每次2π个单位长度）；
（2）五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的
五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，
用光滑的曲线连接；
②将所得图像向左、向右平行移动（每次2π个单位长度）；
3、正弦函数的性质
（1）周期性
①函数的周期定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②最小正周期
(a)定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；(b)正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π；
③函数y＝sinx的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π；
④函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝eq \f(2π,ω)；
（2）值域与最值
定义域：R；
值域：[－1,1]；
最值：x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1；
（3）奇偶性
奇函数
（4）单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上递增；在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上递减；
4、正弦函数y＝sinx的图像特征
题型1、会用“五点法”作正弦相关函数的图像
例1、（1）用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点（ ）
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(3,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))
C．(π，0) D．(2π，0)
【说明】注意利用“五点法”结合“代换法”，画正弦型函数的图像；
（2）用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]的图像．
【说明】用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
（1）列表：
（2）描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
（4）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b的图像像．
友情提示：作图像时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度；
题型2、会用“图像变换”作正弦相关函数的图像
例2、（1）函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是（ ）

（2）函数y＝|sin x|的图像( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于坐标轴对称
【说明】利用图像变换画与正弦函数相关的图像；关键还是理解与用好函数图像的变换规律；
题型3、与正弦函数的定义域相关
例3、（1）函数y＝lg2(2sin x＋1)的定义域为_____________________________
（2）函数y＝lg sin2x＋eq \r(9－x2)的定义域为_______________________________
【说明】求与正弦函数有关的定义域问题：
1、常常归结为解三角不等式（或等式）；
2、求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图像，有时也利用数轴；
3、对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，这时可利用基本三角函数的图像、数轴或三角函数线求交集；
题型4、与正弦函数相关的值域与最值
例4、（1）若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是_______________________
（2）求函数y＝1－2cs2x＋5sin x的最大值和最小值；
【说明】三角函数值域的求法：
1、利用y＝sinx和y＝csx的值域直接求；
2、把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acs(ωx＋φ)＋b)的形式求值域；
3、把sinx或csx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域，如y＝asin2x＋bsinx＋c，可先设sinx＝t，转换为关于t的二次函数求值域；
4、利用sinx±csx和sinxcsx的关系将原函数转换成二次函数求值域；
题型5、与正弦函数相关的周期问题
例5、（1）求函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))的最小正周期；
（2）已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像与直线y＝eq \f(1,2)的交点中，距离最近的两点间的距离为eq \f(π,3)，那么此函数的最小正周期是________．
【说明】若求最小正周期：
1、可把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)或y＝Acs(ωx＋φ)(ω≠0)的形式，则最小正周期为T＝eq \f(2π,|ω|)；三角函数式y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期为T＝eq \f(π,|ω|)；
2、求含有绝对值符号的三角函数的周期时，可画出函数的图像，通过观察图像得出周期；
题型6、与正弦型函数相关的奇偶性
例6、（1）判断)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)函数的奇偶性；
（2）若函数f(x)＝sin eq \f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ等于（ ）
A．eq \f(π,2) B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(3π,2) D．eq \f(5π,3)
【说明】判断正弦型函数的奇偶性；关键是依据：正弦函数的奇偶性与函数奇偶性的定义、判断方法；
题型7、与正弦函数的单调性相关
例7、（1）函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的一个单调递减区间是（ ）
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[－π，0]
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(2π,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))
（2）函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是
【说明】求三角函数单调区间的两种方法：
1、代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，利用基本三角函数(y＝sinx，y＝csx，y＝tanx)的单调性列不等式求解；
2、图像法：画出三角函数的图像，利用图像求函数的单调区间；
友情提示：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω＜0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫忘记考虑函数自身的定义域；
题型8、正弦型函数图像的应用
例8、（1）利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)