新高考数学二轮复习解答题提分训练专题07 解三角形之求角的三角函数值（2份，原卷版+解析版）

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1．在中，角所对的边分别为，已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理即得；
（2）利用余弦定理可得，然后利用同角关系式即得.
【详解】（1）因为，
所以，
所以；
（2）由余弦定理可得，
又为的内角，
所以
2．如图，在中，点在边上，
(1)证明：；
(2)若，，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算；
（2）不妨设，在、、中利用余弦定理运算求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理知：，即
又，
可得，
在中，所以，所以.
（2）不妨设，则
在中，由余弦定理知；
在中同理可知：
在中，
即有
解得.
3．记的内角A，，的对边分别为，，，已知
(1)求证：；
(2)若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理化角为边后整理可得证；
（2）由余弦定理写出，把第（1）小题结论代入已知和求值式可得．
【详解】（1）∵，∴
；
（2）
由，∴．
4．在中，内角所对的边分别为，，，已知
(1)求角的大小；
(2)已知，的面积为6，求：
①边长的值；
②的值.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；（2）①根据题意利用面积公式可求得，再利用余弦定理运算求解；②先利用余弦定理求得，再根据平方求，利用倍角公式和两角差的余弦公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：
，
可得，
∵，
∴.
（2）①∵的面积，
∴，
由余弦定理：，则；
②∵，即，
则，
∴，
故.
5．在中，角所对的边分别为．已知且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理求解；(2)先由余弦定理求得，即可求解；（3）根据三角恒等变换利用正弦的两角差公式求解.
【详解】（1）由边化角可得，
又因为,所以，
又因为得，
将代入，整理得，
或（舍），所以.
（2）由（1）得得，，且，
则，
所以.
（3）由余弦定理，
得，
因为,所以，
又因为，所以，
所以
,
所以
.
6．设的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且，，．
(1)求a的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件，转化为，再结合正弦定理与余弦定理求边a.(2)用第一问计算得结果，求得，正弦的和角公式展开代入即可.
【详解】（1）由，得，由正弦定理得，又，则，解得，即.
（2），由，则，则，，．
7．在中，内角所对的边分别是.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理可得结合，解得，再利用余弦定理即可得出．
（2）由可得，再利用倍角公式与和差公式即可得出．
【详解】（1）由，
根据正弦定理可得，
即，又，
所以，
由余弦定理可得：，
所以，由，
解得．
（2）因为，所以在中，
有，
则，
，
所以
．
8．在中，角所对的边分别是，已知.
(1)求的值；
(2)若的面积，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式可求出结果；
（2）根据三角形面积公式、正余弦定理可求出结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
，
，
即，
所以，
又是三角形内角，，
又.
（2）因为，所以，
由，解得.
由.，得.
9．在中，设角所对的边长分别为，且．
(1)求角；
(2)若的面积，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；
（2）根据题意与面积公式求得， ，结合余弦定理得，由正弦定理得，即可解决.
【详解】（1）解法一：
因为，
由正弦定理得：
所以
因为，
所以，即
因为，
所以．
解法二：
因为，
由余弦定理得：
整理得，即
又由余弦定理得，
所以，即
因为，
所以．
（2）由（1）得，
因为的面积，
所以，
所以，
由于，
所以，
又由余弦定理：，
所以．
所以，
所以由正弦定理得，
所以．
10．在中，内角、、所对的边分别为、、．已知，，，．
(1)求和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；或
(2)或
【分析】（1）根据正弦定理可以求出，由结合条件得到，利用余弦定理求得；
（2）利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简，再根据（1）讨论或，从而得到，即可求解.
【详解】（1）因为，，，
则由正弦定理得：，即，
又，所以为锐角，则，
由余弦定理得：，即，
解得：或，
经检验或均能构成三角形，
所以：或.
（2），
由（1）得：当时，则，所以为锐角，则，
所以，
当时，则，
所以，
故的值为或.
11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列．
(1)求角A、B、C；
(2)若，延长BC到D，使的面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的性质及内角和定理可得，由余弦定理及等比数列的性质即可求解；
（2）由三角形面积公式可求与，在中，由余弦定理求出，再根据正弦定理即可求解.
【详解】（1）因为A、B、C成等差数列，所以，
因为，所以，所以，
由余弦定理得：，
因为a、b、c成等比数列，所以，代入上式得，，
所以，所以，所以，
综上所述.
（2）由（1）知，是等边三角形，所以由知，，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
在中，又由正弦定理得，
，即，
所以.
12．中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足，B.
(1)判断的形状
(2)若点在上且，点与点在直线同侧，且，，求．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)
【分析】（1）由，可得角，利用正弦定理及两角和的正弦公式可得，即可判断的形状；
（2）不妨设，，可得，，再利用两角和差的正切公式计算即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
又因为，所以．
在中，由正弦定理得，，
又因为，所以，
所以．
又因为，所以，
所以C.
因为，所以，，
所以的形状是等腰直角三角形．
因为的形状是等腰直角三角形，
所以不妨设，．
因为，，所以，．
在直角中，，
所以．
因为，，
所以．
13．在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得证；
（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得，设，在△ABD与△ACD中，分别使用余弦定理，解方程组可求出或，依题意排除，利用余弦定理即可求出.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，
由已知得：②，
由①②联立得：，
因为，所以．
故AB，AD，AC成等比数列；
（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
故，由（1）知：③，
在△ABD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
即④，
在△ACD中，设，由已知得，
由余弦定理得：，
⑤，
由⑤＋④×2整理得：⑥，
由③⑥联立整理得：，
解得：或，
当时，由可求得，所以故舍去，
当时，由可求得，满足，
在△ABC中，由余弦定理得
综上：
14．在中，角所对的边分别是，已知．
(1)求角的大小；
(2)设
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式和三角形内角和定理即可求解；
(2) ①结合（1）的结论，利用余弦定理解求解；
②先利用正弦定理得到，根据边角的大小关系和同角三角函数的关系得到，
然后利用二倍角公式和两角和的正弦公式即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，则，
因为在中，，所以，
则有，因为，所以，，
故.
（2）①由（1）知：，在中，因为，
由余弦定理可得：，则.
②在中，由正弦定理可得：，即，
所以，因为，所以，则为锐角，
所以，则，
，
所以.
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)判断的形状；
(2)若，D在BC边上，，求的值．
【答案】(1)直角三角形
(2)
【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；
（2）由（1）中结论即可得到，从而得到的值，然后在中结合余弦定理即可得到结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即
所以
且，所以
即是直角三角形.
（2）在直角中，有，即，所以，
又因为，所以
且，
在中，由余弦定理可得，
解得，
在中由余弦定理可得，
16．已知在中，，点在边上且满足.
(1)若的面积为，求的值；
(2)若，求的大小.
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)由条件结合三角形面积公式求，再由余弦定理求，由此可求，
(2) 设，由正弦定理可得，，由此解方程求即可.
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理，得，
所以；
（2）设，则，
由是等腰三角形及可得，解得，
在内，由正弦定理，得，
在内，由正弦定理，得，又，所以
所以，
所以，，因为，
即或，所以或.
的大小为或.
17．中，，是边上的点，，且.
(1)若，求面积的取值范围；
(2)若，，平面内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据条件可得，建立平面直角坐标系，从而可得在一个定圆上运动变化，从而可求的边上的高的范围，故可得面积的取值范围.
（2）根据题设条件可判断该三角形为直角三角形，利用正弦定理和余弦定理可求的值.
【详解】（1）由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得即，
建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则，
则，整理得到：，
故的边上的高的范围为，故其面积的取值范围为：
（2）
因为，故，故，
故为直角三角形且
如图，设，则，故，
同理，
故，而，故，
在中，由余弦定理可得：，
整理得到：
所以，
整理得到：，解得或，
但为锐角，故，故
故存在且.
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)若，求角大小；
(2)若，求．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）根据余弦定理，求得的值，利用正弦定理建立方程，可得答案；
（2）由（1）可得，利用等量代还以及三角函数恒等式，整理方程，建立方程组，可得答案.
【详解】（1）由，得，
，，
又，且，得，
，且，或，
则或；
（2）由（1）知，，则，
又，，
则，
得，又，
整理可得，，
由，解得．
19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．
(1)求的值；
(2)若，求csB的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；
（2）根据余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，可得答案.
【详解】（1）由，则，
设，则，
根据余弦定理，可得，
化简可得，根据正弦定理可得：，则.
（2）由，根据余弦定理，可得，整理可得，
则，，由，则，
由，则，根据正弦定理，可得，即，故，
.
20．在中，.
(1)求角；
(2)若为中点，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可；
（2）在中由余弦定理可得的长与，再在中由余弦定理可得，再在中由余弦定理可得即可.
【详解】（1）由正弦定理，，因为，故，
则，即.又，
故，故，故
（2）由余弦定理，
故，.在中由余弦定理可得.
在中由余弦定理可得，
故.在中由余弦定理，
即的余弦值为.
21．在①；
②；
③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知中，为边上的一点，且，__________．
(1)求的大小；
(2)若，求大小；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理求解； 选②，转化为求解；选③，利用正弦定理求解；
（2）由（1）知：，又，得到，设，得到，，利用余弦定理求得求解.
【详解】（1）解：选①，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
即，
则，所以；
选②，
则，
因为，
所以，
即，
因为，所以；
选③，
则由正弦定理得：，
即，
因为，
所以，
因为，所以；
（2）由（1）知：，又，所以，
设，则，，
由余弦定理得，
，
所以，则，
所以.
22．在中，角所对的边分别为.已知是和的等差中项，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差中项的性质有，再代入余弦定理可得，进而可得；
（2）由同角三角函数的关系可得，再根据正弦定理求解即可；
（3）先根据余弦定理可得，再根据两角和的正弦公式，结合二倍角公式求解即可.
【详解】（1）因为是和的等差中项，故，
由余弦定理可得，即，化简有，
因为，故，故，即.
（2）因为，故，
由余弦定理可得，故.
（3）由题意，，又，故.
又，，
故
23．已知在平面四边形ABCD中，，，连接AC．
(1)若的面积为2，求的周长；
(2)若，，求和．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由三角形面积公式求出，再由余弦定理得到，从而求出三角形周长；
（2）根据，，求出，，根据及差角公式得到答案，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，从而由余弦定理求出.
【详解】（1）由题意得：，画图图形如下：
由三角形面积公式得：，
即，解得：，
由余弦定理得：，
故周长为；
（2）因为，，
故，
即，又，
解得：，
故，
因为，
所以
，
在中，由正弦定理得，即，
解得：，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：或-4（舍去），
故，
所以和.
24．中在边上,且．
(1)求的长;
(2)若于,求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先在中由余弦定理求得的长,再由求得的长,由可求,最后在中由余弦定理即可得的长;
（2）由（1）可得,,的长,即有的长,在中由余弦定理可得,再求,又有,又有,则有,将写为,根据两角差的余弦公式代入即可求出结果.
【详解】（1）解:由题知
是等腰三角形,,
在中,由余弦定理得:
,
即,
,
,
,
在中,由余弦定理得:
,
即,
;
（2）由（1）知,,
在中,由余弦定理得:
,
,
,
,
,
故.
25．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点M在线段BC上，且，．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）边化角和两角和的正弦公式求出角，在中，设，利用正弦定理化简得，再利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简即可得到答案.
（2）由（1）求出，，再由得和，在中，利用余弦定理得，在中利用正弦定理化简即可得到答案.
【详解】（1），由正弦定理得
在中，设
由正弦定理得，
（2）由（1）得,
在中，利用余弦定理
设
在中，
在中利用正弦定理得
.
26．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求的值；
(2)若，的面积，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变形得到等式左边为，右边为，化简得到答案.
（2）化简得到，得到，根据余弦定理得到，根据面积公式得到，计算得到答案.
【详解】（1），，
所以．
（2），所以，，
，所以，，所以，即．
由余弦定理得，即，所以，
又，所以．
所以，解得，所以．
27．在△ABC中，D为BC上一点，．
(1)证明：；
(2)若，，，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，得到，利用正弦定理得到，，再结合，即可证明原等式成立；
（2）设，则，根据余弦定理得，解得，然后利用正弦定理求即可.
【详解】（1）△ACD中，由正弦定理得：，
又因为，所以，所以①，
同理，在△BCD中，，
又，则，
所以②，
由得：，原等式即得证．
（2）设，则，
△ABD中，由余弦定理得：，
即，解得．
所以，，
由，
得．
28．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，．
(1)求A；
(2)D为BC边上一点，，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，化简求出，即可得到；
（2）在和中，利用正弦定理构造等量关系，得到，再将a表示出来，即可求得结果.
【详解】（1）由得，
有正弦定理得，即，
由余弦定理，得，
由于，所以．
（2）由（1）可知，所以，
根据正弦定理，在中，，
在中，，
又，所以，
又，所以，
所以由余弦定理可得，
则，所以．
29．设的三个内角，，所对的边分别为，，.若，且.
(1)求的值；
(2)若，的面积为1，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式化简已知等式即可求解；
（2）根据面积公式可得，再由正弦定理结合两角和的正切公式即可得出答案.
【详解】（1）因为，
所以，
所以
，
所以，
所以，
又因为在中，所以，
所以，
所以，
所以；
（2）因为的面积为1，所以，
所以，
根据正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
可得，
又因为，所以，
所以，
所以.
30．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求证：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)或3.
【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角变形公式整理化简即可；
（2）通过（1）中式子可得，再利用两角差的正切公式变形计算即可.
【详解】（1）由正弦定理可得
∴，
∴
即
（2）由（1）中得，
∴
或3.