新高考数学二轮复习三角类专题练习三角函数与解三角形的综合问题（2份，原卷版+解析版）

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解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
母题呈现
【典例1】已知向量，，且函数.
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）在中，内角，，的对边分别为，，，角为锐角，，若，且的面积为.求的周长.
【解题指导】(1)数量积运算→解析式→求周期→对称中心
(2)条件化简得→正弦定理求a→面积公式求∠A→余弦定理求得b+c的值→求三角形的周长.
【详解】（1），
由，故最小正周期为.
由，∴，，
∴的对称中心为，.
【技巧】整体换元法求对称中心
（2）由于，
故，于是，又，解得.
，解得.故或（舍去）.
【易错题型】注意根据角的范围合理舍去.
由余弦定理，则
化简得：，∴，∴，
∴三角形的周长为.
方法总结
1.该题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.
2.与解三角形有关的交汇问题的关注点
（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.
（2）结合三角形内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式.
模拟训练
1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【详解】（1），
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.
2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，
(1)求的值及函数的对称轴方程；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1），
，
因为函数的两个相邻零点间的距离为，
所以函数的最小正周期为，因为，
所以，即，
令，所以对称轴为；
（2）由，
因为，所以，
因为，所以由正弦定理可知：，
所以三角形的周长为，
，
因为，所以，因此，
所以周长的取值范围为.
3．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．
(1)已知，求的值；
(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．
【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；
（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.
【详解】（1），
，
；
（2）由（1）得，
则，
，又，
，
又向量与垂直，
，
即，又
，则，
由正弦定理，
则，
的周长为.
4．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数的最大值和最小正周期；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，为的面积.若且，求的值.
【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而根据正弦定理与面积公式得，根据得，进而代入即可得答案.
【详解】（1）解：，
所以，，
最小正周期为.
（2）解：因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，
因为
所以，
因为，，
所以，
所以
所以，
5．（2023·上海静安·统考一模）平面向量，函数.
(1)求函数y=的最小正周期；
(2)若，求y=的值域；
(3)在△中，内角的对边分别为，已知，，求△的面积.
【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后求最小正周期即可；
（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；
（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即可.
【解析】（1）
所以，
最小正周期为.
（2）设，，，
在上严格增，在上严格减，，，，所以=的值域为．
（3），即，
因为为三角形内角，所以．
，即，解得.
所以△的面积为.
6．（2022·四川乐山·统考一模）设函数
(1)求函数的最大值和最小正周期；
(2)在锐角中，角所对的边分别为为的面积.若且求的最大值.
【分析】（1）根据三角恒等变换得，即可解决；（2）由题得，代入题中解决即可.
【详解】（1）由题知，
所以函数的最大值为，最小正周期为．
（2）由（1）得，
因为，
所以．
因为B为锐角，
所以．
因为，
所以，.
所以．
所以．
当时，原式有最大值．
所以的最大值为.
7．（2023·四川内江·统考一模）已知向量，，设函数.
(1)若，求的值；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且________，求的取值范围.从下面两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答.
①；②；注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【分析】（1）结合向量坐标乘法及三角恒等变换，将化简成，再解方程求出的值即得解；
（2）结合正弦定理、三角恒等变换及三角形角的范围，可解出的值，即可求出的范围，即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：因为，，
所以
，
当时，，
所以或.
所以或.
当，时，；
当时，.
综合得.
（2）解：若选①，
由正弦定理可得，
即，
即，
由于，所以，解得，
由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选②，
由正弦定理可得，
即，
由于，所以，由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
8．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量，定义函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化为正弦型函数，即可求函数的最小正周期；
（2）根据函数，结合三角形解方程得角的大小，根据的面积公式结合余弦定理与基本不等式即可求长度的最大值.
【详解】（1）解：=
的最小正周期为
（2）解：
，，.
又AB，
.
由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立，
=.
9．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数
(1)求函数的对称中心及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a，b，c，，，，D为边BC上一点，且，求AD的值．
【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据整体代入法即可求得对称中心和单调区间；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求解.
【详解】（1）函数
.
由，，解得，．
故对称中心为．
由，，解得，
令，有，令，有，又
所以所求的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
即
又在锐角中，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，解得，
又由余弦定理得，解得或2，
当BC=2时，，
此时为钝角三角形，与题设矛盾，
所以，又，所以，
在中，由余弦定理可得
，
故的值为.
10．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数
(1)求函数的对称中心及在上的单调递增区间；
(2)在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，，，求的值．
【分析】（1）由三角恒等变换得，再根据整体代换求解即可；
（2）结合（1）得，进而得，再根据余弦定理和已知条件得，，进而结合正弦定理求解即可.
【详解】（1）解：函数
．
由，，解得，
故所求对称中心为．
由，，解得，
令，有，令，有
又，
所以所求的单调递增区间为，
（2）解：因为，所以，即
又在中，
所以，即，
由余弦定理知，，
又
所以，解得，，
由正弦定理知，，
所以