新高考数学二轮复习三角类专题练习平面几何中的解三角形问题（2份，原卷版+解析版）

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与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
母题呈现
【典例】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【解析】（1）【方法一】正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
【方法二】【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）【方法一】：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
【方法二】【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
【方法三】：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
【方法四】：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
方法总结
做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
模拟训练
1．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，．
(1)求的值；
(2)求的周长．
2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
(1)当时，求OP的长；
(2)当面积最大时，求．
3．（2023·山东日照·统考一模）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且.
(1)求角B；
(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
4．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，，AC与BD相交于点E，，.
(1)求AE的长；
(2)求的面积.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在中，D为边BC上一点，，，，.
(1)求的大小；
(2)求的面积.
7．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
8．（2023·湖北·校联考模拟预测）在中，，点D在边上，.
(1)若，求的值，
(2)若，且点D是边的中点，求的值.
9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.
(1)若，求的长；
(2)求四边形面积的最大值.
10．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．
(1)求BD；
(2)求的面积．