新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.1 解三角形（常规型）（2份，原卷版+解析版）

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1．对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用．
2．在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
3．选择“边化角”或“角化边”时，具体变换原则如下：
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
(2)若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；
(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
(6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
1．（2023·全国·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若，，求的面积．
【解题思路】（1）利用二倍角公式和两角差的正切公式进行化简整理，得到，进而利用三角形中的角度关系和范围分析求解即可；
（2）根据已知条件求出B，即可由正弦定理求出a，c，再利用三角形面积公式求解即可.
【解答过程】（1）因为
，
，
所以由得．
因为，，，，所以①，
所以，，所以，即．②
联立①②得．
（2）因为，所以，，，所以，即．
，
由正弦定理，可得，
，
所以的面积．
2．（2023·湖南·联考模拟预测）已知分别为三角形三个内角的对边，且有.
(1)求角A；
(2)若为边上一点，且，求.
【解题思路】（1）运用正弦定理边化角、和角公式及辅助角公式求解即可.
（2）解法一：运用正弦定理求解即可；解法二：运用向量线性表示证得即可.
【解答过程】（1）由，有，.
即，
所以，因为,所以，
即:，
又因为，故.
（2）解法一：设，则，
在△中，由正弦定理知，，
即，
化简得，，则，
即.
解法二：如图所示，
取中点，延长与的延长线交于点，连接，
由有，由，
设，则，即，
故，所以，即为中点.
又为中点，所以，
又，所以△为正三角形，
又平分，所以，所以.
3．（2023·山东淄博·统考一模）在中，角，，的对边分别是，，，满足
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.
【解题思路】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；
(2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解.
【解答过程】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又因此.
（2）在中，由，得，
在中，由，可得，
所以；
在中，由，得，
解得，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.
4．（2023·陕西西安·统考一模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
(1)求B；
(2)若的周长为6，，求的面积.
【解题思路】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得，从而可解；
(2)利用余弦定理和已知的周长得到，再借助三角形的面积公式即可求解.
【解答过程】（1）∵，
根据正弦定理可得：，
即.
∴，即.
∵，∴，
∴，
又，∴.
（2）由余弦定理知，
即，
又，，
∴.
∴.
5．（2023·宁夏银川·校联考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【解题思路】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可.
（2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域.
【解答过程】（1）∵，
∴，
∴由余弦定理得：，即：，
由正弦定理得：，
∴，
整理得：，即：，
又∵，
∴，即：.
（2）∵，
∴，
又∵，，，
∴由正弦定理得：
，
又∵，
∴，
令，则，，
∵对称轴为，
∴在上单调递增，
当时，；当时，，
∴，即：的范围为.
6．（2023·广西·校联考模拟预测）已知在：中，角所对的边分別为，且.
(1)求的值；
(2)若为钝角三角形，且，求的取值范围.
【解题思路】（1）将条件转化为，再利用正弦定理得到化简求解；
（2）根据结合，得到，且为钝角，然后利用余弦定理求解.
【解答过程】（1）解：依题意，，
故，
由正弦定理得，
即，故.
（2）因为，所以为锐角，
又，故，则，
因为为钝角三角形，所以为钝角；
因为，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
7．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为边上一点，.
(1)若，求的面积；
(2)若AD为的平分线，求的周长.
【解题思路】（1）将用替换，再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定理可求得，在中，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式即可得解；
（2）在与中，先由正弦定理求得的关系，再利用余弦定理可求得，即可得解.
【解答过程】（1）∵，，
∴，
由正弦定理可得，，
∴，
即，
结合，得，
∵，∴，
在中，，
由余弦定理可得，，
即，解得，
∴；
（2）由AD为的平分线知，，
在与中，由正弦定理可得，
①，
②，
∵，∴，
结合①②，可得，
在与中，由余弦定理可得，
，，
又，
∴，解得，
∴，∴的周长为.
8．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【解题思路】（1）利用二倍角公式化简得，结合正弦定理化角为边以及余弦定理即可求出的大小.
（2）利用正弦定理、诱导公式及两角和与差的正弦公式得，再求出的范围，则得到的范围，最后利用三角形面积公式即可求出面积范围.
【解答过程】（1）因为，
所以，
所以，
由正弦定理得，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由（1）可知，，故，因为，
所以
因为，，
所以，故，所以，则.
所以，
所以面积的取值范围是.
9．（2023·天津和平·统考一模）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小：
(2)若，
（i）求的面积；
（ii）求.
【解题思路】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和得正弦公式及三角形内角关系即可得出答案；
（2）利用余弦定理求得边，根据三角形面积公式可得面积，再根据余弦定理可得，再利用二倍角公式及和差角公式即得.
【解答过程】（1）因为，
所以，
即，
则，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得（舍去）或，
所以的面积为；
（ii）由上可得，又，
所以，
所以，，
所以.
10．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的垂心，，求面积的最大值.
【解题思路】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得，由余弦定理即可求解，
（2）根据垂直关系可得，进而在中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值.
【解答过程】（1）由题可得，
结合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）设边，上的高分别为，则为与的交点，
则在四边形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
则，即，
当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为.
11．（2023·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，.
(1)求角的最大值；
(2)若的面积为，，且，求b和c的值.
【解题思路】（1）根据三角恒等变换，结合正弦定理边角互化得，再根据余弦定理与基本不等式得，进而得答案；
（2）根据面积公式，余弦定理，并结合（1）求解得，再解方程即可得答案.
【解答过程】（1）因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，由正弦定理得.
所以
，当且仅当时等号成立，
因为，所以，
所以，角的最大值为.
（2）解：由（1）得，①
由余弦定理得，②
因为的面积，所以，③
得，整理得，④
因为，
所以由①④解得.
12．（2023·全国·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
【解题思路】（1）由正弦定理结合弦化切化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【解答过程】（1）解：由正弦定理可得， ，
∴．
∵，，∴，，，
又，∴．
（2）解：∵，，，
又，．
由正弦定理可得，即，
．
13．（2023·全国·模拟预测）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若面积的最小值为，求a的最小值.
【解题思路】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理即可求出.
（2）由正弦定理及的值得，，利用三角形面积公式有，解出的范围即可.
【解答过程】（1）由及正弦定理得，
整理得.
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由（1）得，则，
由正弦定理得，
所以，，
所以的面积，
易知，所以，得，
所以a的最小值为3.
14．（2023·全国·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若点，，均在边上，且，平分，，，，求的长．
【解题思路】（1）根据三角恒等变换将已知等式化简，结合余弦定理整理成，再由余弦定理得，即可得角的大小；
（2）解法一：由的面积公式及已知角度关系可得，再由，可得，，结合平面向量的线性运算与数量积的性质即可得的值，即可得的长.
解法二：不妨设，由题可得，，
则，结合三角恒等变换及三角形边角关系可得长，结合平面向量的线性运算与数量积的性质即可得的值，即可得的长.
【解答过程】（1）由，得，
即，
由余弦定理可得，
整理得．再由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）解法一：由题可得的面积
，
因为，，，
所以，结合，得，．
因为为的中点，所以，
所以，所以．
解法二：不妨设，由题可得，，
则，所以，
，
所以，．
因为为的中点，所以，
所以，所以．
15．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在中，，，点在边上，.
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长.
【解题思路】（1）根据三角形中邻补角互补，，由平方关系得，再结合正弦定理即可求得的长；
（2）由得面积可得，再结合余弦定理即可求得的长.
【解答过程】（1）因为，所以
在中，因为
所以
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）的面积为，得
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得
所以.
16．（2023·北京平谷·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．
【解题思路】（1）根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特殊角即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）由，得，
因为所以，，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，，因为，所以，
因为，所以，
所以.
由正弦定理，得.
所以.
17．（2023·云南昆明·统考一模）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长
【解题思路】（1）根据题意可求圆的直径，再结合正弦定理运算求解；
（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.
【解答过程】（1）设的外接圆半径为，则（cm），
由正弦定理，可得.
（2）∵，则，故为锐角，
∴，
由面积公式，即，可得，
由余弦定理，即，
可得，解得（cm），
故的周长为（cm）.
18．（2023·山西·统考模拟预测）如图，四边形中，，，，，.
(1)求的面积；
(2)求线段的长度.
【解题思路】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及余弦定理，利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解.
【解答过程】（1）因为，
所以，即.
因为为的内角，
所以.
又，
所以，
联立，得，，
所以的面积为.
（2）由（1）知,，
由余弦定理，得 .
设,由正弦定理,得，即，
所以.
在中，由余弦定理,得 ，
所以.
19．（2023·内蒙古包头·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求；
(2)若，，试求边上的高h．
【解题思路】（1）在中，根据正弦定理，余弦定理转角为边得到，再根据余弦定理得到的值，进而即可得到；
（2）由已知条件结合余弦定理可求解，再根据三角形的面积公式即可得到边上的高．
【解答过程】（1）在中，有，
由正弦定理得，
再由余弦定理得，
化简得，
所以，
又，所以．
（2）结合（1），将，，代入中，
得，解得，或（舍去）．
由，得．
20．（2023·广东湛江·统考一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为，，求a．
【解题思路】（1）化简得到，根据正弦定理得到，得到答案.
（2）根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案.
【解答过程】（1），
所以，故．
由正弦定理得，又，
所以，
故，
，，所以，即，，故．
（2），所以．
由余弦定理可得，
所以.
21．（2023·湖南张家界·统考二模）记的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若，求的面积的最大值.
【解题思路】(1)利用正弦定理边化角以及余弦定理求解；
(2)利用基本不等式和面积公式求解.
【解答过程】（1）由，
得，
由正弦定理，得.
由余弦定理，得.
又，所以.
（2）由余弦定理，，
所以，
∵，∴，
所以，当且仅当时取“”.
所以三角形的面积.
所以三角形面积的最大值为.
22．（2023·重庆·统考模拟预测）在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．
(1)求角A的大小；
(2)记的面积为S，若，求的最小值．
【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；
（2）根据题意可得，，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结合基本不等式即可得到结果.
【解答过程】（1）因为，即
由正弦定理可得，，化简可得，
且由余弦定理可得，，所以，
且，所以.
（2）
因为，则可得，
所以 ，
且，
即，
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
23．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)求周长的最大值.
【解题思路】（1）在中利用余弦定理求得，从而证得为等边三角形，求得其面积，再在中利用余弦定理求得，从而利用三角形面积公式求得的面积，由此得解；
（2）利用余弦定理得到，从而利用基本不等式推得，由此得解.
【解答过程】（1）如图所示，连结，
在中，，，
所以，
因为，所以，则，
因为，所以为等边三角形，
，
，，
在中，，即，
又，
，
.
（2）设，，
则在中，，，则，即，故，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
，则，
，故，当且仅当时，等号成立，
所以，即周长的最大值为.
24．（2023·广东·校联考模拟预测）已知中，内角的对边分别为，且，，．
(1)求；
(2)若与在同一个平面内，且，求的最大值．
【解题思路】（1）过作边上的高，其中为垂足，分析可得，由及直角三角形的三边关系，可得，即可得的值；
（2）当取得最大值时，与分别位于两侧，设，结合正弦定理、余弦定理、三角恒等变换可得，利用正弦型三角函数的性质即可得的最大值．
【解答过程】（1）因为，，所以为锐角，则如图，过作边上的高，其中为垂足，在线段上，
因为，，所以为等腰直角三角形，则，
又，所以从可知，所以，
所以.
（2）当取得最大值时，与分别位于两侧，此时设，则，则，
因此在中，由正弦定理得：，
所以，
因此由余弦定理得：
，
故当时，取得最大值，由此可得，因此的最大值为．
25．（2023·福建泉州·统考三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
(1)求B；
(2)已知D为的中点，，求的面积．
【解题思路】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.
（2）利用向量得到，从而利用数量积运算法则得到，从而得解.
【解答过程】（1），
，，
且，
，
两式相加得，
，即,
.
（2）因为D为的中点，所以，
所以，
，
代入，得：，或（舍去）；
.
26．（2023·新疆·统考一模）在中，分别为内角的对边，.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值.
【解题思路】（1）利用两角和与差的正弦公式化简得，则，则得到的值；
（2）利用余弦定理和辅助角公式得，则，解出，则得到最大值.
【解答过程】（1）由得,
即，
即
即,因为,
所以,即,
由得，故.
（2）由结合余弦定理得,
则,
于是,
即.
解得,
故当时，有最大值.
27．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
【解题思路】（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得；
（2）由为的角平分线，，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可.
【解答过程】（1）证明：因为，由正弦定理得：
，又，
所以，整理得．
又，则，即.
（2）因为为的平分线，且，
所以，则，
所以，可得，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，所以，
由正弦定理得.
28．（2023·山东临沂·统考一模）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围．
【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.
【解答过程】（1）在中，由已知及正弦定理得：，
即有，即，而，，则，
所以．
（2）在中，由余弦定理得：，
因此，即，当且仅当时取等号，
又，
所以面积的取值范围是．
29．（2023·河南平顶山·联考模拟预测）如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
(1)当时，求OP的长；
(2)当面积最大时，求．
【解题思路】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；
（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.
【解答过程】（1）由题意，
在中，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
在中，，，
由正弦定理，
，
解得：
（2）由题意及（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，
，
即，
即，
∴，当且仅当时，等号成立，
又，
∴当且仅当时，的面积最大，此时，
∴．
30．（2023·云南玉溪·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大小；
(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
【解题思路】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角B.
（2）由余弦定理与重要不等式可得△ABC面积最大时a、c的值，在△ABD中应用正弦定理可解得AD的值.
【解答过程】（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，
又∵，∴．
（2）在△ABC中，由余弦定理得，
即．
∵，，
∴，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当a＝c＝2时，，
又∵△ABC面积为，
∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大．
当a＝c＝2时，．
又∵为的角平分线，∴
∴在△ABD中，，
∴在△ABD中，由正弦定理得．