新高考数学二轮复习解答题提分训练专题01 解三角形之求三角形面积（2份，原卷版+解析版）

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1．的内角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，进而得到；
（2）利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式即可.
【详解】（1）由正弦定理得：，
即，
，，，又，.
（2）由余弦定理得：，解得：，
，.
2．在中，是边上一点，，，，.
(1)求的长；
(2)求的面积.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）中，根据余弦定理求的长；
（2）中，根据余弦定理求，即可求，再根据三角形的面积公式求解.
【详解】（1）因为，
则，，，
中，,
即，解得：或（舍），
所以；
（2），
因为
所以，，
所以.
3．中，，，分别是角，，的对边，且有.
(1)求角；
(2)当，时，求的面积.
【答案】(1)或或
(2)或
【分析】（1）根据三角恒等变换将式子化简，即可求出角的大小；
（2）先根据余弦定理求出边的长度，再根据三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，且，
所以，
即，
所以或，
解得或或.
（2）因为，，所以，
根据余弦定理得，
所以，即，
解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积的面积为或.
4．设内角A、B、C所对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求角B的大小;
(2)若,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理对进行化简,得到的值,进一步得到角B的大小;
(2)先根据正弦定理求出的值,结合角的取值范围,即可得到角的大小,再依据三角形内角和求得角的大小,利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）∵,
∴,
∴,
∴,
又,
故.
（2）由正弦定理得:即,
所以,
又,
所以,
则,
,
所以.
5．a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式，正弦和角公式及正弦定理得到，因为，所以；
（2）在第一问的基础上利用余弦定理得到，结合，求出，再利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以，
即，
又，所以，所以；
（2）由第一问可知，则，
由余弦定理得：，
因为，，所以，
又，解得，
所以的面积．
6．已知中，内角的对边分别为，，，.
(1)求A；
(2)若且的内切圆的半径，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理角化边整理可得，再结合余弦定理运算求解；（2）由题意结合面积公式整理可得，结合（1）中结论解得，运用面积公式即可结果.
【详解】（1）∵,则，整理得，
∴，
又∵，
∴.
（2）由题意可得：的面积，即，
整理得：，
由（1）得：，则，
解得：或（舍去），
故的面积.
7．在中，角所对的边分别为，已知2：1：.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的面积.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理求解；
（3）由（2）求出，再利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，解得；
（2）由（1）可知，，，得，
由余弦定理得；
（3）由（2）得，
因为，
所以，
因为，，
所以的面积为.
8．在锐角中，角所对的边分别为. 已知
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理可得，即，即可求解；
（2）利用正弦定理可得，根据两角和的正弦公式可得结合三角形面积计算公式即可求解．
【详解】（1），由正弦定理，
得，又A为锐角，则，
所以.又B为锐角，则.
（2），由(1)知，
则，得，
又，所以，
所以的面积.
9．已知的内角，，的对边分别为，，，若，
(1)求；
(2)从以下条件中选择两个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.
①；②；③的周长为9.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）若选①即可确定，推出矛盾，则只能选择②③，利用余弦定理及完全平方公式求出、，即可求出、，再根据面积公式计算可得.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
所以，
又，
即，
又，所以，即，又，所以；
（2）解：若选①，由，所以不存在，则不存在，故不能选①；
所以只有一种情况②③，即，，
所以，由余弦定理，
即，又，
所以、，所以，即，此时三角形存在且唯一确定，
所以.
10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)条件①：；条件②：
【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出，再结合角的范围，即可求得.
（2）选条件①：首先利用余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求得.
选条件②:首先利用正弦定理求出，再结合三角函数恒等变换求出，再利用三角形面积公式即可求得.
【详解】（1）解：（1）因为，由正弦定理．
因为，所以．
又因为，所以．
（2）选条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，可得，解得．
所以的面积，
选条件②：；
由（1）知且，
根据正弦定理得，所以，
因为，
所以，
所以的面积．
11．在锐角中，角的对边分别为，，，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理求出，由求出，结合，求出；
（2）由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1），由正弦定理得：，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以；
（2）由（1）知：，又因为，，
由余弦定理得：
解得：，
所以面积为.
12．已知的内角，，的对边分别为，，，，，.
(1)求角；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合（1）的结论、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以由余弦定理可知：；
（2）由正弦定理可知：，
，，
.
13．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
在中，内角所对的边分别是，___________.
(1)求角；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①：利用正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选择②：由正弦定理､余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求得的值，结合三角形面积公式可得出的面积.
【详解】（1）选择①：因为，
由余弦定理可得，
所以结合正弦定理可得.
因为，则，
所以，即，
因为，所以；
选择②：因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得.
因为，所以；
（2）由（1）知，又已知，
由余弦定理得，，
即，所以，
所以的面积为.
14．在梯形ABCD中，，，．
(1)求；
(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接BD，在梯形中可得，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得的值，即可求解的值；
（2）根据（1）的结论，结合已知条件可判断为等边三角形，进而得到的值，利用勾股定理求解的值，利用三角形面积公式求解的面积，即可得到梯形的面积.
（1）
解：连接BD，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
又，，
所以，化简得．
因为，所以．
（2）
解：因为，．
所以为等边三角形，且，
，且，
又
所以的面积为，
的面积为，
所以梯形ABCD的面积为.
15．中，，，.
(1)求；
(2)平面四边形中，，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可求得，由此可得；
（2）利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
(1)
由正弦定理知：，则，
，.
(2)
由（1）得：，又，；
又，，
由余弦定理得：，
解得：，
.
二、能力提升
16．在中，，，分别为内角，，的对边，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）使用正弦定理边化角，再将化为，化简求解即可.
（2）将代入，和联立，求出和，再进一步求解即可.
【详解】（1）由正弦定理和得：
，
∵，，
∴，
又∵，
∴,
又∵，
∴
∵，，
∴，∴
∵，∴，
∴.
（2）由第（1）问，，
∴
又∵，
∴，
∴，解得，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴的面积为.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
(1)求角C的大小;
(2)若a=3，且求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边换角，结合两角和与差的正弦公式得到，则有，则得到角的大小；
（2）根据向量数量积的定理得到，结合余弦定理得到，，联立解得值，再利用三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）因为,
根据正弦定理得
,
，
，
即，
即.
.
因为,所以.
（2）因为,即.
因为,所以①
因为,所以②
联立①②可得,解得（负舍）
故的面积为.
18．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，csB=，∠ADB=．
(1)求AD的长；
(2)求△ADE的面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）首先利用同角三角函数可得，求得，在中利用正弦定理即可得解；
（2）在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcs∠ADC，解得， 代入即可得解.
【详解】（1）在△ABD中，∵，，
∴，
∴，
由正弦定理，知．
（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcs∠ADC，
即，
∴DC2-2DC-5=0，解得（负值舍去）．
∴，
从而．
19．如图，中，若角所对的边分别是.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理求出和即得证；
（2）设由得，再利用余弦定理求出即得解.
【详解】（1）证明：在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
所以.
故得证.
（2）解：设由题得,
所以.所以.
所以.
所以的面积为.
20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)18
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角可求出，结合余弦定理，由代换，求得，进而得解；
（2）由正弦定理，代换得，求出，可解得，由正弦面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，即．又，所以．
，
解得，则．故的周长；
（2）因为，所以．
由，，得，解得，．
故的面积．
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，点D是BC的中点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简得到，解得，得到答案。
（2）根据中点得到，平方得到，根据计算得到，，再利用面积公式计算得到答案.
【详解】（1）因为，所以，
即，，解得，
因为，所以.
（2）点D是BC的中点，所以，即，
故．
，，所以，即.
因为，所以，即，则，.
的面积为.
22．在中，内角的对边分别为，已知，.
(1)求A大小；
(2)已知边，求面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦的倍角公式与辅助角公式求得，从而得到；
（2）利用正弦定理与余弦定理的边角变换得到，再由余弦定理得到，从而联立方程求得，由此利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，即，即，
因为，所以，
所以，则.
（2）因为，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，整理得，
又由（1）得，
联立，解得（负值舍去），
所以的面积为.
23．在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
(1)求的值；
(2)若平分，且交于点，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简已知条件，从而求得的值.
（2）设，利用等面积法列方程，求出的值，
然后代入公式即可．
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，
由正弦定理得．
（2）设，因为，平分，
所以，
因为，，，所以，
因为，，所以，则为锐角，
所以
所以，
所以的面积．
24．记的内角、、的对边分别为、、，已知，．
(1)若，，求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由已知条件结合三角形的内角和可得出，，由已知可得出结合两角差的正弦公式化简可得出，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：因为，则，所以，，
所以，
，
所以，，又因为，故.
（2）解：因为，所以，，
因为，，则，
所以，，化简整理得，
所以，
故的面积为.
25．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式利用二倍角公式和诱导公式化简，再用正弦定理角化边，用余弦定理求得，可得角.
（2）由，由三角形面积公式和余弦定理，求出，可求的面积.
【详解】（1）因为，
由二倍角公式和诱导公式可得，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）如图所示，， D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，
由于，则，
得，又，所以，
解得或（舍去），
所以.
26．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理和，联立得，结合正弦定理边化角，再将代换为即可求解；
（2）由同角三角函数求出，利用求出，由求出，结合求出，结合第三角公式与和角公式求出，由进而得解.
【详解】（1）在中，由余弦定理及，得，得.
由正弦定理得，因为，
所以，
所以，即.
因为A，B，C是三角形的内角，所以，即；
（2）由（1）可得，因为，所以，
所以，，
，
由正弦定理得，，所以，
所以的面积.
27．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
(1)求；
(2)若边AB上的高为1，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理得到，结合得到，，然后利用三角形内角和和和差公式得到，再结合同角三角函数基本公式求即可；
（2）方法一：根据和边上的高为1得到，然后根据得到，，再利用和差公式和内角和得到，最后利用三角形面积公式求面积即可；
方法二：过点C向AB作垂线，垂足为H，分别在和中利用三角函数和勾股定理得到，，然后利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）因为，所以，
在中，由正弦定理，所以，
所以，所以，
因为，所以.
在中，，
所以
，
所以，
所以，
所以，所以.
（2）方法一：
因为，，所以.
因为边上的高，所以.
因为，，所以，，
在中，，
所以
.
在中，由正弦定理，
所以.
所以的面积.
方法二：
过点C向AB作垂线，垂足为H.
在中，，，
所以，.
在中，，，
所以，所以，
所以的面积.
28．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
(1)求角B；
(2)若边上的点D满足，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，结合化简可得：，从而得出答案；
（2）由已知得，两边平方，结合数量积的运算性质及余弦定理求出，然后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）在中，由正弦定理可得：
∵，∴
∴
∵，∴
∴，化简可得：∴，
∵，∴
∴，又∵，∴.
（2）
∵，∴
两边平方得：，即
则，∴①
在中，由余弦定理得：，化简得：②
由①②可得：，即，∴或
当时，，∴；
当时，，，∴．
29．已知的内角 的对边分别为 ，.
(1)求A；
(2)若，且，求的面积.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式结合题设可得，化简得，即可求得答案；
（2）结合所给条件，利用余弦定理可得，从而利用求得，进而得b,进而利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）根据三角形面积公式有 ,
因为，所以 ，
得 ，
，不适合该式，所以 ，
由，得.
（2）由题意，
由余弦定理可得 ，
可得 ，所以由可得 得，
于是 ，
所以 的面积 .
30．记的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，结合已知求出的范围，即可得结果；
（2）法一：由及余弦定理可得，进而可得，应用余弦定理有，最后根据三角形面积公式求值；
法二：根据向量对应线段的位置关系、向量数量积的运算律及已知条件得、，即可得，最后根据三角形面积公式求值；
【详解】（1）∵，，；
∴，又，
∴，则.
∴，
∴，即的取值范围是.
（2）法一：∵，则，
∴，化简得：①，
∵是边的中线，且，，
∴，代入①整理得：②，
又，
∴③，
由②③两式得：.
∴.
法二：∵是边的中点，
∴，
∴，即，
∵，，
∴代入上式整理得：①，又，
∴，
∵，
∴②，
由①②解得.
∴.
三、核心素养
31．已知的内角的对边分别为，满足，
(1)求；
(2)是线段边上的点，若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦函数的倍角公式与诱导公式将条件转化为关于的一元二次方程，解之即可求得；
（2）在、与中，利用余弦定理及诱导公式得到关于的方程组，从而求得，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，，，
所以，即，
又，所以，
又，所以，则，故，
又，所以.
（2）设，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，，
所以，，整理得①，
在中，由余弦定理得，则②，
由①－②得，故，
将代入①式得，
所以的面积.
.
32．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化简，从而求出角；
（2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，进而求出的三边，由此求出其面积．
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
因为，则，所以，即，故，
又，所以，故.
（2）由题意设，，，由（1）得，
在中由余弦定理可得，①，
因为，所以，
即②，
联立①②，解得（负值舍去），
则，，是等边三角形，
所以，即的面积是．
.
33．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
34．在中，，是边的中点.
（1）若，，求的长；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）本题首先可根据是边的中点得出，然后根据向量的运算法则求出，最后根据即可得出结果；
（2）首先可在中得出，在中得出，然后根据是边的中点得出，即可求出以及，再然后根据两角和的正弦定理得出，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.
【详解】（1）因为在中，是边的中点，所以，
因为，，，
所以，
故，的长为.
（2）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为是边的中点，所以，，
则，，
即，，，
因为，所以，，
则
，
的面积.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，考查向量的灵活应用以及解三角形面积公式，能否根据正弦定理以及两角和的正弦公式求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.