【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题17 其它综合类竞赛题（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题17 其它综合类竞赛题（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共7页。试卷主要包含了填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2019·全国·高三竞赛）计算:=_______.
2．（2019·全国·高三竞赛）设是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则k＝_______.
3．（2019·全国·高三竞赛）给定函数.则函数与反函数交点的坐标为______.
4．（2019·全国·高三竞赛）把函数的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵．其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素．又记的系数所组成的二阶矩阵为A的平方，即．观察二阶矩阵乘法的规律，写出中的元素________．
5．（2018·江西·高三竞赛）、为正整数，满足，则所有正整数对的个数为______．
6．（2018·湖南·高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.
设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.
7．（2018·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.
8．（2019·全国·高三竞赛）设为常数.若对一切，有，则实数的取值范围是____.
9．（2019·全国·高三竞赛）定义数列：，令.则的最大值为_________.
10．（2019·全国·高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．若圆台的高为，是下底面与夹角为的直径，则异面直线、所成角的余弦值为________．
11．（2018·甘肃·高三竞赛）设满足若只在点处取得最小值，则实数的取值范围是______．
12．（2018·全国·高三竞赛）若函数的反函数为，且，则满足的最小正整数______．
13．（2018·全国·高三竞赛）方程的解集为______．
14．（2018·全国·高三竞赛）已知，一元二次方程有重根.则的值是______.
15．（2018·全国·高三竞赛）设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________．
16．（2018·全国·高三竞赛）已知，存在实数，使得当时，恒成立.则的最大值是______.
17．（2018·全国·高三竞赛）直角坐标平面上两曲线与围成的图形的面积为______．
18．（2019·全国·高三竞赛）已知关于的方程的两根均为整数．则实数的值为______．
19．（2021·全国·高三竞赛）若，则的值为_______．
20．（2019·全国·高三竞赛）不等式的解集为________．
21．（2019·全国·高三竞赛）已知函数与轴有两个不同的交点，并且，则的值是______．
22．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_____.
23．（2019·全国·高三竞赛）已知、、是一个直角三角形三边之长，且对大于2的自然数，成立．则______．
24．（2018·山东·高三竞赛）已知，，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．
25．（2018·贵州·高三竞赛）方程组的实数解为___________.
26．（2018·全国·高三竞赛）已知为方程的三个不同的根，则的值为_________．
27．（2018·全国·高三竞赛）使得方程①只有整数解的实数的个数为______.
28．（2018·全国·高三竞赛）某人排版一个三角形,该三角形有一个内角为60°,该角的两边边长分别为和9.这个人排版时错把长的边排成长,但发现其他两边的长度没变.则______.
29．（2018·全国·高三竞赛）已知在区间上的值域为．则满足条件的区间为________．
30．（2018·全国·高三竞赛）30 ！末尾最后一个不为零的数字为________.
31．（2018·全国·高三竞赛）平面区域的面积等于______.
32．（2018·上海·高二竞赛）分解因式：_______.
33．（2021·全国·高三竞赛）若一个分数（a，b均为正整数）化为小数后，小数部分出现了连续的“2020”，例如，就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小的可能值为________.
二、双空题
34．（2018·全国·高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误．题目：平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边．证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得出15条边，记为，，…，.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设.第三步，由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则、、组成的三角形的最长边，也是、、组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中，第______步有错误，理由是______.
三、解答题
35．（2019·全国·高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分别为，首先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，……依此类推．设A、B、C第n次跳到的位置分别为，的三边长分别为a、b、c，面积为S．证明:
36．（2019·全国·高三竞赛）设异面直线、成角，它们的公垂线段为，且，线段的长为4，两端点、分别在、上移动.求线段中点的轨迹方程.
37．（2018·全国·高三竞赛）求所有三次多项式，使得对一切，均有.
38．（2018·全国·高三竞赛）已知多项式，其中，为实数．证明：对任意的实数，方程总有一个相同的实数根．
39．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数,求,其中,表示不超过实数的最大整数.
40．（2018·全国·高三竞赛）试求所有的正整数及实数，使得与均为有理数.
41．（2018·全国·高三竞赛）实数 满足，试求的值.
42．（2018·全国·高三竞赛）已知非零实数、、、满足
（1）求证：二次方程①必有实根，且是方程的一个实根；
（2）当，时，求、.
43．（2018·全国·高三竞赛）设、为复数，．求证：．
44．（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式满足.①证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.
45．（2019·贵州·高三竞赛）我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生0~9这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.
46．（2019·全国·高三竞赛）设二元函数的定义域是.
（1）求（点）的取值范围；
（2）求所有的实数，使得在空间直角坐标系中，曲面（点）与另一个曲面相交.
47．（2019·全国·高三竞赛）设直线与函数的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.
48．（2018·全国·高三竞赛）已知为实数,且,对的子集,定义.其中,规定，问：从个这样的和中至多可以选出多少个,使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?
49．（2018·全国·高三竞赛）(1)若正整数n可以表示成)的形式，则称n为“好数”．试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程的所有非负整数解
50．（2018·全国·高三竞赛）在的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一块由4个方格构成的区域，其中由至少3个方格被染成红色.