【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2020·江苏·高三竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有_________个．
2．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设，，，则的值为______．
3．（2021·全国·高三竞赛）记，则___________.
4．（2021·全国·高三竞赛）设数列的首项，且求．
5．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则___________.
6．（2021·浙江·高三竞赛）设，，…，满足，，且，则数列的通项______.
7．（2021·浙江·高三竞赛）已知整数数列，，…，，满足，，且（，2，…，9），则这样的数列个数共有______个.
8．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，则______.
9．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，，则整数k的最小值是___________．
10．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足，则_________．
11．（2021·全国·高三竞赛）数列与满足：，若对任意正整数k，都有，则实数t的最小值为_________．
12．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：.则_______.
13．（2021·全国·高三竞赛）若数列满足：对任意，均有成立，且都是等比数列，其公比分别为，若，且对任意恒成立，则的取值范围为___________．
14．（2021·全国·高三竞赛）数列{an}满足：(其中[an]和{an}分别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a2019=____________ .
15．（2019·贵州·高三竞赛）已知集合A={1，2，3，…，2019}，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为____________ .
16．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知数列满足，，数列的前项和为，则使不等式成立的最小正整数的值为___________．
17．（2021·全国·高三竞赛）两数列满足，且对任意正整数n，，则为___________.
18．（2021·全国·高三竞赛）设均为正实数，且则的最小值为_________.
19．（2019·河南·高二竞赛）等差数列{an}中，，记数列的前n项和为Sn，若对任意的n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为____________ .
二、解答题
20．（2021·全国·高三竞赛）已知正项数列满足．记数列的前n项和为，求的值．
21．（2021·全国·高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）．
22．（2021·全国·高三竞赛）数列满足且．证明：其中无理数．
23．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．
24．（2021·全国·高三竞赛）实数列满足：，求的值．
25．（2021·全国·高三竞赛）定义在R上的函数，，，是否存在常数，使得对，有.
26．（2020·浙江·高三竞赛）已知数列满足，，.
（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；
（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.
27．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.
28．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：．
29．（2021·全国·高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）
30．（2021·全国·高三竞赛）设为给定的正整数，实数及满足如下条件：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
证明：对一切，均有．
31．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设，，且．称为好数，如果使上述所定义的满足且．求全体好数在数轴上所对应的所有区间的长度之和．
32．（2021·全国·高三竞赛）设多项式的系数为正整数．定义数列：．证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且．
33．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足．
（1）求证：．
（2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在．请说明理由．
34．（2021·全国·高三竞赛）设m是任一给定的正整数，正整数列定义如下：，求所有的正整数a，使得是周期的．
35．（2021·全国·高三竞赛）求常数C的最大值，使得对于任意实数均有．
36．（2021·全国·高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则.
37．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有.
求证：（1）；
（2）数列为单调数列.
38．（2021·全国·高三竞赛）空间中的个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的组，且，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少?
39．（2021·全国·高三竞赛）设数列是公差不为零的等差数列．满足．设数列的前项和为，且．对于任意，在和之间插入个数，使成等差数列．记，是否存在正整数，使成立?若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
40．（2021·全国·高三竞赛）圆周上有个1600点．以逆时针方向依次标号1，2，…，1600．它们将圆分成1600段圆弧．今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果前一次第号点被染红，则后一次将此点以逆时针方向转过段圆弧后的那个点染红．如此操作下去．问圆周上最多可以得到多少个红点?
41．（2021·全国·高三竞赛）对于数列，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列．已知数列满足递推式，求证：
（1）若，则不是有界数列．
（2）若，则是有界数列．
42．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数数列满足，，求数列的通项公式.
43．（2021·全国·高三竞赛）求具有下述性质的最大整数m：对全体正整数的任意一个排列，总存在正整数，使得：构成公差为奇数的等差数列．（可以认为：两项也是等差的）
44．（2021·全国·高三竞赛）求最大的，使对于给定n，任意一个实数列，总存在一个子列满足：
（a）中有1项或2项属于T；
（b）．
45．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数数列满足：，求的取值范围．
46．（2021·全国·高三竞赛）对于正整数，如果严格递增的非负整数数列，使得所有非负整数可以唯一地表示为，其中i､j､k可以相同，则称数列，为好的.
（1）证明：对任意正整数n，存在唯一的好的数列.
（2）已知存在最小的正奇数m，使得在好的数列中有，求的值.
47．（2021·全国·高三竞赛）设集合.若X是的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”.(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集.
（1）求证：的奇子集与偶子集个数相等.
（2）求证：当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
（3）当时，求的所有奇子集的容量之和.
48．（2020·全国·高三竞赛）称一个复数数列{zn}为“有趣的”，若|z1|=1，且对任意正整数n，均有.求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m，均有.
49．（2021·浙江·高二竞赛）设为给定的正整数，，，…，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值.
50．（2021·全国·高三竞赛）求所有无穷正整数列满足下列条件：
（1）；
（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使．
（3）有无穷多个正整数k，使．